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* §1－3 函数的极限 前面讨论了数列xn=f (n)的极限, 它是函数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自然数, 且n趋于无穷大. 现在讨论y=f (x)的极限, 自变量x大致有两种变化形式. (1) x??, (2) x?x0 (有限数). 并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的. 一、 x??时, f (x)的极限. 定义1. 设f (x)在(M, +?) 内有定义, 也可记为 f (x)?a, (x?+?) 若?? 0, ?X 0, 当xX 时, 相应的函数值f (x)满足| f (x)?a |?. 则称常数a为f (x)当x?+? 时的极限, 记作 (或(?????)) (或x?X) (或x???) 也可记为 f (x)?a, (x???)) 此时也称当x?+?(x?–?)时, f (x)的极限存在. 否则, 称它的极限不存在. 注1. 将这个定义和数列极限定义相比较, 就是将xn=f (n)换成了f (x). 将“ ?自然数N”换成“ ?实数X 0”. 但是, 数列极限中n是离散变化的, 而这里x是连续变化的. 若?? 0, ?X 0, 当xX (或x?X) 时, 有|f (x)?a |?. (x?–?) 若?? 0, ?自然数N, 使得当nN 时, 都有|xn?a|?, 则有 例1. 证明 其中 0a1. 证: ? 0 ? 1, 要使|ax?0 |=ax?. 看图. y=ax 1 y x 0 ? x x y 只须 若?? 0, ?X 0, 当xX (或x?X) 时, 有|f (x)?a |?. 定义2. 设f (x)在(??, ?M)? (M, +?)内有定义. 若 ?? 0, ?X 0, 当|x|X时, 相应的函数值满足 | f (x) ?a | ? 则称a为 f (x)当x??时的极限, 由定义1, 2可知 记作 二、当x? x0时, f (x)的极限 若当x? x0时, 对应的函数值f (x)?a, 则称a是f (x)当x? x0时的极限, f (x)?a可用| f (x) ?a |? 刻划, 如何用精确的数学 而x? x0则 可用 |x ?x0 |? 刻划. 语言刻划这一事实? 定义3. 设f (x)在x0的某个去心邻域? (x0) 内有定义, 此时也称当x?a时, f (x)的极限存在, 若?? 0, ?? 0, 当0|x?x0|? 时,相应的函数值f (x)满足 | f (x) ?a | ? , 则称常数a为f (x) 的当x?x0时的极限, 记作 否则, 称当x?a时, f (x)的极限不存在. 注1. 与数列极限定义比较: 将“ xn=f (n)”换成f (x), 将“ N”换成“ ? 0”, 将“ nN” 换成 “ 0|x?x0|? ”. ?? 0, ?? 0, 当0|x?x0|? 时, | f (x) ?a | ? , 则记 若?? 0, ?自然数N, 使得当nN 时, 都有|xn?a|?, 则有 而现在 x? x0, “ 0|x?x0|? ” 表示了这一意思. 这是因为在数列极限中. n??. 而“ nN” 表示了n充分大这一意思. 注2. 定义中“ 0|x?x0|? ”. 表示x ? x0. 例2. 设c为常数, 则 例3. x? x0总表示x无限接近x0, 但x ? x0这一意思. 因此, f (x)在x0是否有定义与f (x)在x0是否有极限无关. ?? 0, ?? 0, 当0|x?x0|? 时, | f (x) ?a | ? , 则记 例4. 证明 证: ?? 0, 要使|f (x)–2|?, 只须| x –1|?. (本例说明f (x)在x0无定义, 但其极限可能存在) 取? =?. 则当0|x?1|? 时, 有|f (x)–2|? , 故 ?? 0, ?? 0, 当0|x?x0|? 时, 有 | f (x) ?a | ? , 看图. y x 0 1 2 x x x y y y=f (x) x?1 1 例5. 证明 证: 注意到不等式|sinx| ? | x | ?? 0, 要使|sinx – sinx0|? , 只须|x – x0|? , 取? =? . ?? 0, ?? 0, 当0|x?x0|? 时, 有 | f (x) ?a | ? , (本例说明sinx和cosx在x0处的极限值就等于它在x0处的函数值。) 左、右极限 定义4：设f (x)在x0的右边附近(左边附近)有定义，若?? 0, ?? 0. 当0x–x0? (或0 x0– x ? ) 时