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定理2. 若f (x), g(x)在点 x0处连续, 则 (1) af (x)+bg(x)在x0处连续, 其中a, b为常数. (2) f (x) ·g(x)在x0连续. (3) 当 g(x0)?0时, §1－9 连续函数的运算与初等函数的连续性 定理3. 设若y=f [?(x)]由 y=f (u), u=?(x)复合而成. 若u=?(x)在x0连续, u0=?(x0), 而y=f (u)在u0 则复合函数y=f [?(x)]在x0连续. 连续, 证: 要证y=f [?(x)]在x0连续, 只须证??0, ??0, 当|x–x0|? 时, 有| f [?(x)] –f [?(x0)]|?. 即可. ??0, 因y=f (u)在u0连续, 故?? 0, 当|u–u0|?, 有| f (u) – f (u0)| ?. 又因u=?(x)在x0连续. 从而对上述? 0, ??0, 当|x–x0|?时, 有|u–u0|= |?(x) –? (u0)| ?. 进而有 | f [?(x)] – f [?(x0)]| = | f (u) –f (u0)| ? 故y=f [?(x)]在x0连续. 将这个定理与P52,定理2比较, 这里少了条件?? (x0), 使得在? (x0)内, ?(x) ? u0 . 这是因为f (u)在u0连续. 注意: P52定理2中条件… ?(x) ? u0 不能少. 如, 设 而u = ?(x) =1, ?x ?R. 则当x?x0时, u = ?(x) ?1. 而当u ?1时, y=f (u) ?2. 即按P52. 定理2, 应有 但 推论. 若lim[?(x)] =A. 且 y=f (u)在 u=A连续, 则 limf [?(x)] = f [lim?(x)] 式子 = f [?(x0)]相当于 因此, 有 例4. 解: 定理4. 若y =f (x)在区间I上单调增加(减少)且连续, 则其反函数x=f –1(y)在相应区间上单调增加(减少) 且连续. 定理5. 若y =f (x)在x0连续, 且f (x0)0 (0), 则?U(x0), 使 ?x ?U(x0), 有 f (x)0 (0). 三、初等函数的连续性 定理6. (1) 基本初等函数在其定义域内连续. (2) 初等函数在其定义域内连续. 例5. 例6. 称形如y=[f (x)]g(x)的函数为幂指函数, 其中f (x)0. 根据对数恒等式 y=elny, y 0, 有[f (x)]gx = eg(x) ·lnf (x), 即, 因此, 当f (x), g(x)均连续时, [f (x)]g (x)也连续. 则 例7. 若 limf (x) = A 0. limg(x) = B, 存在. 例8. = 21 = 2 例9. y x 0 1 例10. y 0 1 x 1 若limf (x)=1, limg(x)= ?, 称lim[f (x)]g(x) 为“ 1? ”型极限问题. 若limf (x)=0, limg(x)= 0, 称lim[f (x)]g(x) 为“ 00 ”型极限问题. “ 1? ”, “ 00 ”和“ ?0 ”型都不一定是无穷小量, 也不一定是无穷大量, 更不一定是1. 若limf (x)= ?, limg(x)= 0, 称lim[f (x)]g(x) 为“ ?0 ”型极限问题. 例11. 解: “ 1? ”型, 原式 = 返回