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§1-4无穷大量与无穷小量 一、无穷小量 则称f (x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去x?xo , x??的极限符号“ lim” 表示任一极限过程). 定义1. 若lim f (x)=0, 注1：无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小量, 小量, 但 如sinx是x?0时的无穷 注2：由于limC = C(常数), 注3：0是任何极限过程的无穷小量. 所以, 除0外的任何常数不是无穷小量. 是该极限过程中的无穷小量. A为常数. ??0, ?? 0, 当0|x – x0|? 时，有|f (x) –A| ? 定理1. 类似可证x??时情形. 二、无穷大量 定义2：若?? 0(无论多么大), 记作： ?? 0(或?X0), 当0|x–xo|?(或|x|X)时，有|f (x)|M, 则称f (x)是x? x0(或x? ?)时的无穷大量. 若以“ f (x)M ”代替定义中的 “ |f (x)|M ”, 就得到正无穷大量的定义. 若以“ f (x) – M ”代替定义中的 “ |f (x)|M ”,就得到负无穷大量的定义. 分别记作： ?? 0, ?? 0(或?X0), 当0|x–xo|? (或|x|X)时，有|f (x)|M, 0 1 -1 1 x x y y x?1+ x?1– 例2: 试从函数图形判断下列极限. 解： (1) x y 0 x y y = tgx x y (2) x o y x x y y x?+? x?–? 注1：若在定义2中，将“ f (x)” 换成“ xn” , 注2：若lim f (x)=?, 将“ X” 换成“ N” , 将“ x??” 换成 就得到数列xn为无穷大量定义. “ n??”, 则表示在该极限过程中f (x)的极限不存在. ?? 0, ?X0, 当|x|X 时, 有|f (x)|M, 注3：不能脱离极限过程谈无穷大量. 注4：无穷大量一定是无界量, 任何常量都不是无穷大量. 但无界量不一定是无穷大量. 说明??0, ?x0?(–?, +?)，使得|x0sinx0|M即可. 三、无穷小与无穷大量的关系. 定理2：在某极限过程中, 若f (x)为无穷大量, 则 反之, 若f (x)为无穷小量 同理证另一结论. 四、无穷小量的运算定理 定理3：有限个无穷小量的代数和为无穷小量. 证：只证两个无穷小量的情形. 设当x?x0时, (要证?(x )? ?(x )为无穷小量), ??0, ?(x )?0, ?(x )?0, 故?(x )? ?(x )是无穷小量. 注：定理3中“ 有限个” 不能丢，无限个无穷小量的和不一定是无穷小量, n个 比如： 定理4：若?(x)是某极限过程中的无穷小量, f (x)是该过程的有界量, 则f (x) ??(x)为该过程 为无穷小量. 的无穷小量. 即, 有界量与无穷小量之积 推论：设?(x), ?(x)是某极限过程中的无穷小量, C为常数. 则?(x)??(x), C?(x)都是无穷小量. 返回 * *