[数学]概率论与数理统计6-2.pptVIP

例5 设总体 为总体 X 的样本, 试确定常数 c ,使 解： 故 因此 分布. cY 服从 * * 第二节 统计量与抽样分布 一、统计量 二、统计学中三个常用分布和上α分位点 三、抽样分布定理 一、统计量 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）信息集中起来. 定义 中不含有任何的未知参数，则称函数g(X1，X2，…,Xn) 如果样本X1，X2，…,Xn的函数g(X1，X2，…,Xn) 为统计量. g(x1，x2，…,xn)为统计量g(X1，X2，…,Xn)的一个 若x1，x2，…,xn是相应的样本值，则称函数值 观察值. 若 ? ,? 2 已知, 则 是统计量，而 例如： 是X 的一个样本, 则 不是统计量. 也是统计量. 是未知参数, 几个常用的统计量 样本均值 样本方差 样本均值反映了总体均值的信息 样本方差反映了总体方差的信息 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 k=1,2,… 样本k阶原点矩反映了总体 k 阶矩 的信息 样本k中心矩反映了总体 k 阶中心矩 的信息 它们的观察值分别为： 由大数定律可知： 依概率收敛于 例1. 从一批相同的电子元件中随机地抽出8个，测得使用寿命（单位：小时）分别为：2300，2430，2580，2400，2280，1960，2460，2000，试计算样本均值、样本方差及样本二阶矩. 解： 抽样分布 统计量是样本的函数，而样本是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，它的分布称为“抽样分布” . 二、统计学中三个常用分布和上α分位点 下面介绍三个来自正态总体的抽样分布. 分布 1、 定义: 设 相互独立,都服从标准正态分布 N(0,1), 则称随机变量： 服从的分布自由度为 n的 分布，记为 分布的概率密度为 在 其中 是函数 处的值. n=1 n=4 n=10 f(y) 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 x 0.50.40.30.20.1 有所改变. 分布的概率密度图形如下： 显然 分布的概率密度图形随自由度的不同而 性质1.? 设 则 证 明： 设 相互独立,则 分布的性质： 这个性质称为 分布的可加性. 性质2.? 设 且 与 相互独立，则 t 的概率密度为： 定义: 设X～N( 0 , 1 ) , Y～ 所服从的分布为自由度为 n 的 t 分布.记为t～t (n). 2、t 分布 ，且 X 与 Y 相互 独立，则称变量 n=4 n=10 n=1 t(x;n) t分布的概率密度函数关于t=0对称，且 当n充分大时(n≥30)，其图形与标准正态分布的概率密度函数的图形非常接近.但对于较小的n，t 分布与N (0,1)分布相差很大. 由定义可见， 3、F分布 则称统计量 服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度， ~F(n2,n1) 定义: 设 X 与 Y 相互独立， n2称为第二自由度，记作 F~F(n1,n2) . 若X~F(n1,n2)，则X的概率密度为 注意：统计的三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要记牢。 4、上α分位点 定义：设随机变量X的概率密度为 f(x),对于 任意给定的α(0α1),若存在实数xα,使得： 则称点xα为该概率分布的上α分位点 正态分布的上α分位点 对标准正态分布变量Z～N(0, 1)和给定的?，上?分位数是由： P{Z≥z?} = 即 P{Zz?} =1-? ?(z?) =1-? 确定点z?. 如图： 例如， ?=0.05，由 查表得 z0.05 =1.645. φ(x) x zα o ?(z0.05) =1-0.05=0.95， 说明： 1） 除标准正态分布外， 分布、t分布、F分布的上? 分位点都有表可查. 2）对于 分布，当n充分大时（n45）， 其中Zα是标准正态分布的上α分位点 3）对于 t 分布 a)由其对称性，有： b) 当n充分大时（n45）， 4）对于F分布，有： 例2. 查表求下列值： 解： ， 例3.设总体X和Y相互独立，同服从 分布，而 X1，X2，…, X9 和 Y1，Y2，…, Y9 的分布. 分别是来自X和Y的简单随机样本，求统计量 解： X1，X2，…,X15是来自X的简单随机样本，求 例4.设总体X服从 分布，而 的分布. 统计量 解： 同理