[数学]欧几里得空间.pptVIP

* 欧几里得空间 线性空间 内积 数乘 加法 欧几里得空间 内积： (1) (2) (3) (4) 当 时, 设V是实线性空间。 如果对于V中任意一对向量 按某一法则在R中有唯一的实数与之对应，记为 ，且满足条件： 例1 规定: 里,对于任意两个向量 容易验证,关于内积的条件被满足，因而 对于这样定义的内积来说构成一个欧氏空间. 在 例2 不难验证, 关于这个内积也构成一个 规定: 里,对于任意两个向量 在 欧氏空间. 以后凡说到欧式空间 均指例1中所述的空间。 欧氏空间的基本性质： 1. 对于任意的 ，有 ，特别 。 设 为V中某一向量，若对于V中任何向量 都有 ， 则 。 对于任意的 及 恒有： x1 x2 x1 x2 x3 P(x1, x2) O P O 矢量op的长度 矢量op的长度 回顾：二、三维空间中向量的长度 向量的模： 定义： 欧氏空间中的任一向量与它自身内积的平方根， 称为该向量的模（或长度），记为 向量的模： 模为1的向量称为单位向量 对任意的向量 ，恒有： 定理： 向量的模： 取等号的充要条件是 线性相关。 即： 非零向量 的夹角规定为： 记为： 向量的夹角： 定义： 当向量 的内积为零，即： 称向量 正交． 零向量与任何向量都正交 向量的夹角： 在欧氏空间中，若向量 与向量组 中的每一个 向量正交，则与该向量组的任意线性组合也正交。 证明： 标准正交基： 在n维欧氏空间V中 基 ： 向量： 在基 下的坐标： 向量： 在基 下的坐标： 标准正交基： 若基 里面的向量是正交的单位向量组成，则上式有 最简单的形式： 我们所熟悉的空间直角坐标系就是建立在 互相正交的单位向量所组成的基上 标准正交基： 定义： 欧氏空间V的一组两两正交的非零向量叫做V的一个正交组 如果一个正交组的每一个向量都是单位向量, 这个正交组就 叫做一个标准正交组. 例1 构成 一个标准正交组。 因为 标准正交基： 例2： 闭区间 函数组： 的一个正交组。 1，cosx, sinx, … ,cosnx ,sinnx,… 构成 上一切连续函数所作成的欧氏空间 此欧氏空间的内积定义为： 把函数组中每一向量除以它的长度，我们就得 一个标准正交组 定理： 标准正交基： 欧氏空间中的正交组必线性无关. 证明： 有实数 使得 因为当i≠j 时 ，所以上式等于 但 ，所以 所以 线性无关. 为欧氏空间V中的一个正交组 标准正交基： 定义： 设V 是一个n 维欧氏空间，如果V 中有 n 个向量 构成一个正交组，那么 这个n 个向量构成V 的一个基。叫做V 的一个 如果正交基还是一个标准正交组，那么就称 正交基。 这个基是一个标准正交基。 在标准正交基下，向量的内积计算最简单。 标准正交基： 正交组中的向量一定线性无关，但线性无关组不一定正交 但我们可以把一个非正交的线性无关组改造成正交组 所以也可以把一个非正交的基改造成正交基，进而改造成 标准正交基 求标准正交基 定理： 是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 使得 可以由 线性表示，k = 1,2,…,m. 那么可以求出V 的一个正交组 先取 显然 是 的线性组合，且 其次取 求标准正交基 证明： （数学归纳法） 那么 是 的线性组合，并且因为 线性无关，所以 又由 所以 假定我们得到了满足定理要求的 所以 同理可得 取 是 的线性组合。 线性无关， 由 得 可看出 又因为 两两正交。 所以 所以找到了满足定理要求的 。 定理得证。 求标准正交基 上述证明过程同时给出了把 无关组改造成正交组的方法， 称为施密特正交化方法 在R3中施密特正交化过程等价于如下过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 中的一个基， 那么令 a1 b1 a2 a3 c2 b2 c3 c31 c32 b3 求标准正交基 求标准正交基 得到正交组后，再将组中的向量单位化（除以自身的模）， 即可得到标准正交组 根据以上的方法，可将欧氏空间中的一个基先化成正交基， 然后再将正交基中的向量单位化，即可得到标准正交基 例：设