2015高考数学专题辅导与训练配套课件教师专用2015高考数学专题辅导与训练配套课件选修2-2选修2-3导数的综合应用来源学优高考网1013760章节幻灯片.pptVIP

【典题4】(2013·重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率). (1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域. (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大. 【信息联想】(1)看到蓄水池的总建造成本为12000π元,想到 _________________________. (2)看到讨论函数V(r)的单调性,想到_______________. 寻求底面半径r与高h的关系 判断导数的符号 【规范解答】（1）因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh =200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成 本为(200πrh+160πr2)元.又据题意 200πrh+160πr2=12 000π,所以h= (300－4r2), 从而V(r)=πr2h= (300r－4r3). 因r0,又由h0可得r5 , 故函数V(r)的定义域为(0,5 ). （2）因V(r)= (300r－4r3).故V′(r)= (300－12r2). 令V′(r)=0,解得r1=5，r2=－5(因r2=－5不在定义域内,舍去). 当r∈(0,5)时,V′(r)0,故V（r）在(0,5)上为增函数； 当r∈(5,5 )时,V′(r)0,故V（r）在(5,5 )上为减函数. 由此可知, V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8，即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大. 【规律方法】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求导:求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0. (3)求最值:比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (4)作答:回归实际问题作答. 【变式训练】（2014·通化模拟）某种产品每件成本为6元， 每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知 －u 与(x- )2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件. (1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式. (2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润. 【解析】(1)设 －u＝k(x- )2， 因为售价为10元时，年销量为28万件， 所以 －28＝k(10- )2，解得k＝2. 所以u＝－2(x- )2＋ ＝－2x2＋21x＋18. 所以y＝(－2x2＋21x＋18)(x－6)＝－2x3＋33x2－108x －108(6x11). (2)y′＝－6x2＋66x－108＝－6(x2－11x＋18) ＝－6(x－2)(x－9). 令y′＝0，得x＝2(舍去)或x＝9， 显然，当x∈(6,9)时，y′0； 当x∈(9,11)时，y′0. 所以函数y＝－2x3＋33x2－108x－108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的. 所以当x＝9时，y取最大值，且ymax＝135， 所以售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元. 【加固训练】（2014·大同模拟）某商场销售某种商品的经 验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格 x（单位：元/千克）满足关系式y= +10(x－6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求a的值. （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【解析】（1）因为x=5时，y=11，所以 +10=11, 所以a=2. （2）由（1）可知，该商品每日的销售量y= +10(x－6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x－3)[ +10(x－6)2]=2+10(x－3)(x－6)2,3x6. 从而f′(x)=10［(x－6)2+2(x－3)(x－6)］ =30(x－4)(x－6). 令f′(x)=0得x=4, 函数f(x)在(3,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当x=4时函数f(x)取得最大值f(4)=42. 所以，当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 热点考向二 利用导数解决不等式问题 【考情快报】 高频考向 多维探究 难度:基础、中档题 命题指数:★★★ 考查方式:主要考查比较大小、证明不等式,含参数的不等式的恒成立、能成立问题.体现了等价转化的思想 命题角度一 解