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高等量子力学 参考书目： ①《高等量子力学》倪光炯 等著 复旦大学出版社 2000年版 ②《高等量子力学》胡诗可等著 四川大学出版社 1990年版 ③《量子力学》Ⅰ，Ⅱ卷 曾谨言著 科学出版社 2000年版 第一章 希尔伯特空间 §1.矢量空间 1．1 矢量空间： 如果我们在集合 ：{ } 上规定了加法和数乘运算, 则称集合 为矢量空间。 加法： 总 使 且： 数乘： a为数 且： 2．内积空间：在上述矢量空间 ：{ } 中，规定一种内积规则，使 总存在一 数与之 对应，记为： 称 为内积空间。 且内积规则满足： 注意； 只是内积记号，对应规则具体而定。 可定义：（ ）= 如：① 几何矢量集合｛ ｝ 　　　 定义内积：（ ）= ② 函数集合 可定义：（ ）= 3．内积空间的完备性：任一以内积空间 ： { } 中的矢量为元素构成的 序列 ，若其极限 也在 中，则 是完备的。 (或：在一个集合上定义了加法、数乘、内积而成 的完备的空间) 4．希尔伯特（Hilbert ）空间： 一个完备（全）的内积空间。 1．5 左矢和右矢 同一矢量作为左、右因子，其地位不同，狄拉 克符在记法上保持其身份： 右矢 ， 左矢 内放对应矢量符号： 内积表示为： 1．右矢空间：在集合 ： 上定义： 加法： 且： 数乘： 且 这时称集合 构成右矢空间。 记： 2.? 左矢空间：上述定义中，将 换成 ，可 得左矢空间的定义。 用Dirac记号，将矢量空间（单一空间）折开 来分别定义了左右矢空间，二者互为对偶空 间，每个右矢都有对应的左矢； 左右矢的内积规则与单一空间也相同。 两个空间合在一起与单一空间等价。 ? 3. 左、右矢的内积： c为实数或复数 且: 须根据右矢空间的运算规则和内积的定义来推导出左矢空间对应的运算规则。 由内积条件有 4．? 左、右矢运算的关系： 证：ⅰ, ∵对任何 都有 ∴可取 为 ，这时: ①若 与任何 的内积都是零，则 ⅱ，左矢同理。