高等材料力学课件第二章节应力状态幻灯片.pptVIP

§2.5 边界条件5 混合边界条件 弹性体边界 S＝Ss＋Su 部分边界位移已知——位移边界Su 部分边界面力已知——面力边界Ss 不论是面力边界条件，位移边界条件，还是混合边界条件，任意边界的边界条件数必须等于3个。 §2.6 主应力与应力主方向 转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律 结构强度分析需要简化和有效的参数 ——最大正应力、最大切应力以及方位 主应力和主平面——应力状态分析重要参数 应力不变量——进一步探讨应力状态 主应力和主平面 §2.6 主应力2 切应力为零的微分面称为主微分平面，简称主平面。 主平面的法线称为应力主轴或者称为应力主方向。 主平面上的正应力称为主应力。 主应力分析 §2.6 主应力3 ABC为主平面,方向余弦为(l,m,n) 主应力 Pn=σn= σ px = σl,?? py = σm,? pz = σn。 主应力分析 关于l，m，n的齐次线性方程组， 非零解的条件为方程组的系数行列式等于零，即 §2.6 主应力4 展开 其中： 主元之和 代数主子式之和 应力张量元素构成的行列式 主应力特征方程 §2.6 主应力5 应力状态特征方程 ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。 I1、I2、I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。 §2.6 主应力6 特征方程有三个实数根 s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个主应力。 对于应力主方向，将s1，s2，s3分别代入 和 l2+m2+n2=1 则可求应力主方向。 §2.6 主应力7 主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。 因此特征方程的三个根是确定的。 特征方程的三个根，即一点的三个主应力均为实数。 根据三次方程性质可以证明。 任意一点三个应力主方向是相互垂直的——三个应力主轴正交的。 应力不变量性质 坐标系的改变导致应力张量各分量变化，但应力状态不变。 应力不变量正是对应力状态性质的描述。 §2.6 主应力8 不变性 实数性 正交性 主应力正交性证明： 下面证明下述结论： 1.??若s1≠s2≠s3，特征方程无重根； 应力主轴必然相互垂直； 2.??若s1＝s2≠s3，特征方程有两重根； s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直； 3. 若s1=s2=s3，特征方程有三重根； 三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直，任何方向都是应力主轴。 §2.6 主应力9 设s1，s2，s3 的方向分别为（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），则 分别乘以l2，m2，n2 分别乘以-l1,-m1,-n1 六式相加，可得 §2.6 主应力10 如果 s1≠s2≠s3 3个应力主方向相互垂直 如果 s1=s2≠s3 可以等于零，也可以不等于零。 s3与s1和s2的方向垂直， 而s1和s2的方向可以垂直或不垂直。 s3的垂直方向都是s1和s2的应力主向。 §2.6 主应力11 如果 s1=s2=s3 则 l1l2+m1m2+n1n2 l2l3+m2m3+n2n3 l1l3+m1m3+n1n3 均可为零或者不为零。 任何方向都是应力主方向。 因此问题可证。 1.若s1≠s2≠s3，应力主轴必然相互垂直； 2.若s1＝s2≠s3，s1和s2必然垂直于s3。而s1和s2可以是垂直的，也可以不垂直； 3. 若s1=s2=s3，任何方向都是应力主轴。 §2.6 主应力12 主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。 主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位； 最大切应力的确定。 讨论任意截面正应力和切应力的变化趋势——应力圆。 最大切应力以及方位的确定。 §2.6 主应力13 正应力和切应力 §2.6 主应力14 正应力和切应力 §2.6 主应力15 主应力与方向余弦表达式 应力圆 §2.6 主应力16 主应力与方向余弦表达式 设σ1≥σ2≥σ3 应力圆 §2.6 主应力17 应力圆 §2.6 主应力18 最大正应力 最大切应力 最大切应力方位 §2.6 主应力19 l2 = 0.5 m2 = 0? n2 = 0.5 八面体单元 §2.6 主应力20 方向余弦表达式 由于?????????????????????????????? 所以????? 正应力 切应力 八面体单元 §2.6 主应力21 八面体单元 八面体切应力是一个与第四强度理论等效应力有关的一个