高等材料力学课件第六章节平面问题幻灯片.pptVIP

三角形水坝 力学模型 应力函数 §6.3 平面弯曲15 体内任一点的应力分量都将由两部分组成： 1:重力引起的，应当与楔形体的单位体积重量ρ g 成正比； 2:液体压力引起的，与液体的单位体积重量γ g成正比。 应力分量还和α，x，y 等有关。 σij为x，y的纯一次式， 应力函数应当是x，y的纯三次式 三角形水坝 应力函数 §6.3 平面弯曲16 应力分量是满足平衡微分方程和变形协调方程的，考虑面力边界条件可以确定各个待定系数 体力分量Fbx=0，Fby= ρ g 三角形水坝 面力边界条件 §6.3 平面弯曲17 x=y tana 三角形水坝 应力分量 §6.3 平面弯曲18 材料力学没有挤压应力分析. 与材料力学偏心压缩应力相同. 材料力学弯曲切应力按抛物线分布. 莱维解，在工程上作为三角形重力坝的基本解答 §6.4 平面问题 的三角级数解 弹性力学的经典问题，可以通过半逆解法选取多项式的应力函数。 ——这种方法要求弹性体主要边界作用的载荷必须连续，而且也能表示成代数多项式的形式。 ——边界条件的限制 载荷不连续，不能使用半逆解法. 采用三角级数表示的应力函数求解 §6.4 三角级数2 带入双调和方程 同除X（x）Y（y） 对y求一阶偏导数 若上式成立，则 其中，λ为任意常数 K1，K2为任意常数 §6.4 三角级数3 求解没有意义 回代变形协调方程 K1，K2 ， A ， B ， C ， D ， λ为任意常数 ，如果取不同的值，就可以得到任意多个特解。另外，基本方程关于这些任意常数是线性的，所以这些解的和也是它的解答。如果在这些解中取足够多的项数，就可以适当的选择这些常数，以尽可能满足问题的边界条件。 §6.4 三角级数4 通解: 方程的一个特解 §6.4 三角级数5 力学模型 边界条件 q2 q1 p1 p2 y x = 0和x = l处 代入应力函数公式，并令K2=1 §6.4 三角级数6 适当选取待定系数Am,Bm,Cm,Dm(m=1,2,3,…)，使其满足其他边界条件 应力分量表达式 §6.4 三角级数7 上下边界条件 在上式的一，三和二，四分别乘以 从0到 l 积分，并利用三角函数的正交性 §6.4 三角级数8 Am,Bm,Cm,Dm(m=1,2,3,…)所满足的方程组 代入应力表达式，可得应力分量 用级数求解平面问题时，仅用于求解应力表达式的待定系数的计算工作量就相当大。再加上由于级数的收敛不快，将需要更多的计算工作量 。 * 应力函数的物理意义及边界条件表示 §6.2 应力函数4 A B 应力函数的物理意义及边界条件表示 §6.2 应力函数5 A B 从定点A到动点B作积分 线性项ax+by+c对于应力分量没有影响 应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合力在x轴和y轴负向的投影 应力函数的物理意义及边界条件表示 §6.2 应力函数6 A B 应力函数的全微分 从定点A到动点B作分部积分 应力函数的物理意义及边界条件表示 §6.2 应力函数7 A B 线性项ax+by+c对于应力分量没有影响 边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩 应力函数的物理意义及边界条件表示 应力函数的物理意义 §6.2 应力函数8 应力函数对y的偏导数等于边界由定点到该动点的x方向合力。 应力函数对x的偏导数等于边界由定点到该动点的-y方向合力。 边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的合力对该点的力矩； 上述关系来源于面力边界条件，因此应力函数表达的3个关系式中只有两个是独立的。 逆解法 基本思想 对于某些矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程－双调和方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而该应力函数所能解决的问题。 利用逆解法了解应力函数性质。 §6.2 应力函数9 一次多项式 逆解法-多项式应力函数 §6.2 应力函数10 满足 应力分量 对应无应力状态 在应力函数中增加或减少一个x，y 的线性函数，将不影响应力分量的值。 二次多项式 逆解法-多项式应力函数 §6.2 应力函数11 满足 应力分量 对应均匀应力状态 三次多项式 逆解法-多项式应力函数 §6.2 应力函数12 满足 应力分量 对应线性应力状态 四次多项式 逆解法-多项式应力函数 §6.2 应力函数13 满足 应力分量 应力状态可以是均匀的,线性分布的,或是二次抛物线分布的. 3a + c + 3e = 0 线性函数 二次函数 三次函数 四次函数 应力函数 0应力状态 可以删除 均匀应力状态 线性应力状态 二次应力状态 只有4个系数独立 逆解法-多项式应力函数 §6.2 应力函数14 §6.