高等数学上第2版教学课件作者陶金瑞主编第9章节无穷级数课件幻灯片.pptVIP

再求余弦级数，为此对 进行偶延拓，如 将 代入到余弦级数中并由收敛定理得： （ ） 第八节 周期为2Ｌ的函数的傅立叶级数 重点：把周期为2Ｌ的函数展开为傅立叶级 　　　　数求出收敛于 的范围 难点：把函数展开为正弦级数和余弦级数 解： 此时 ，代入公式（2）得： （ ） 设 是周期为4的函数，它在 上的表达式为 （ 为常数） 将 展开为傅立叶级数。 例1 展开式的图形如图。 解： 所给波形是以 为周期的函数，它在一个周期 上的表达式为 由图看出， 是奇函数，因此展开式是正弦级数。 将如图所示的锯齿波所表达的函数展开为傅立叶级数。 练习 其中 1，3，5 … 展开式的图形如图。 解： 先求正弦级数，为此将 进行奇延拓，如图9-13此时 , ( ) 代入正弦级数中并由收敛定理得： （ ） 将 （ ）分别展开为正弦级数和余弦级数。 例1 再求余弦级数，将 进行偶延拓，入图9-14 第九节 傅立叶级数的复数形式 重点：把函数展开为复数形式的傅立叶级数 难点：傅立叶级数（复数形式）的计算 解： 被积函数的原函数不是初等函数，将被积函数按幂级数 展开，有 （ ） 两边积分得： 若取前3项作为其近似值，则误差不大于第四项， 所以 计算积分 的近似值（精确到 ）. 例7 例8 利用幂级数证明欧拉公式 （*） 证明：在 的展开式中，将 换为 得： 由于 …所以 证毕。 第六节 傅立叶级数 重点：（1）三角函数系的正交性 （2）把周期为的函数展开为傅立叶 技术，并求出收敛于的范围 难点：（1）收敛定理的理解 （2）傅立叶系数的计算 一、问题的提出 二、三角函数系的正交性 解： 计算傅立叶系数 设 以 为周期，它在 上的表达式为 将 展开成傅立叶级数。 例1 （2） 写出傅立叶级数 （3）讨论收敛性： 由于 满足收敛定理的条件，它在 （ ） 处不连续，其它地方都连续，由收敛定理知道，在 时， 级数收敛于 ， 在 时，级数收敛于 ，即 （ ， ， ） 其和函数的图形如图。 解：（1） 计算傅立叶系数 设 ，以 为周期，将 展开为 傅立叶级数。 例2 (2) 写出傅立叶级数 (3) 讨论敛散性 满足收敛定理的条件，在 （ ） 不连续， 因此在这些点级数收敛于 在其它点处都 收敛于 ，因此 （ ， ， ） 解： （1） 计算傅立叶级数 以 为周期，在 上的表达式为 ，将 展开为傅立叶级数。 例3 （2） 写出傅立叶级数： （3）讨论收敛性 满足收敛定理的条件且在 上连续，所以由收敛定理可得： 及其展开式的图形如下： 第七节 正弦与余弦级数 周期延拓 重点：（1）奇函数与偶函数分别展开为正 弦级数和余弦级数 （2）把已知函数进行奇延拓和偶延拓 难点：函数的周期性延拓 一、奇函数和偶函数的傅立叶级数 解： 所给函数满足收敛定理的条件，它 处收敛于 在连续点处收敛于 。 是周期为 的函数，它在 上的表达式为 ，将 展开为傅立叶级数。 例1 其次，若不计 ，则 是周期为 的奇函数。显然， 的傅立叶级数是正弦级数。 代入到正弦级数表达式并由收敛定理中得 的傅立叶展开式 的展开式的图形如图 解： 因为 为偶函数，所以它的展开式为余弦级数， 是在 内的连续函数，并且周期是 ，当然 也是它的周期。 将函数 （ ）展开为傅立叶级数。 例2 补充 ， 代入到 的余弦级数中，并由收敛定理得： 及其展开式的图形如图。 二、函数的周期性延拓 解：先求正弦级数，为此对函数 进行奇延拓， 将函数 （ ）分别展开成正弦级数和 例5 余弦级数。 将 代入到正弦级数中并由收敛定理得 （ ） 二、绝对收敛与条件收敛 的 级数，它是收敛的， 所以由比较判别法，级数 证明： 因为 ， 而级数 是 时 收敛，从而级数 是绝对收敛的。 故级数 收敛。 证明级数 收敛。 例2 解：（1）级数 是交错级数， 由交错级数审敛法可知 它收敛。 而 是 的 级数， 是发散的， 故级数 条件收敛。 （2）级数 的每项取绝对值得级数 ， 它是 的 级数， 是收敛的， 因此级数 绝对收敛。 它本身一定收敛。 例3 第四节 幂级数 重点：（1）幂级数概念及收敛半径、收敛 区间 （2）幂级数的运算性质 难点：利用幂级数的运算性质求幂级 数的和 一、幂级数的概念 由等比级数的求和公式知,