第五章 第一节差分法公式推导xin.pptVIP

第五章 用差分法和变分法解平面问题 Ch 5用差分法和变分法解平面问题 学习指导 Ch 5用差分法和变分法解平面问题 学习指导 Ch 5用差分法和变分法解平面问题 学习指导 Ch 5用差分法和变分法解平面问题 学习指导 差分法的优点： 1. 差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法。总可以将微分方程化为差分方程并得出其近似解答。 2. 差分法简单易行，且借助于计算机可以取较密的网格进行分析，以求得足够精确的解答。 对于某些结构，为例更精确地分析局部的应力状态，可以用差分法进行分析。 例如：若用结构力学方法计算出钢架结构的整体内力分布后，则可以用差分法进一步分析刚架结点附近的局部应力状态。 差分法的缺点： 1. 对于由曲边边界和斜边边界等产生的不等间距网格，比较麻烦且容易出错。 2. 差分法比较适用于解决二维问题或平面问题，此时网格比较直观，易于图示。 差分法比较适用于等间距网格，对于应力变化较为剧烈时，需采用二次网格进行计算。 凡是近似解，在进行求导运算时会降低精度。 * * 1. 弹性力学的基本解法： 弹性力学问题可以化为微分方程的边值问题，通过求解，得出函数式的精确解答。 Notes：实际工程问题，荷载、边界条件的复杂性，难以求出函数的解答。 近似解法：变分法、差分法和有限元法。 2. 差分法是微分方程的一种近似解法。差分法中，将连续函数用一些结点上的函数值来代替，并从而将微分方程及其边界条件变化为差分（代数）方程，使问题易于求解。 近似解法：变分法、差分法和有限元法。 采取的手段：将连续函数离散。 3. 变分法是弹性力学中另一种独立的求解方法。在变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建立便分方程，并进行求解。 近似解法：变分法、差分法和有限元法。 变分法得出的解答常常是近似的解答，将变分法也归入弹性力学的近似解法。 弹性力学中的变分方程和微分方程是沟通的，可以互相导出。 4. 有线单元法 是20世纪中期发展起来的弹性力学近似解法。在有限单元法中，首先将区域离散化，把连续体变化为离散化结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散化结构，从而建立求解的方法。 近似解法：变分法、差分法和有限元法。 要求：理解这些近似解法，能够应用这些近似解法解决工程实际问题。 有限元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。 第五章 用差分法和变分法解平面问题 第一节 差分公式的推导 差分法：是微分方程的一种近似数值解法。在差分法中，将连续函数用结点上的函数值来代替，并从而将微分方程及其边界条件变换为差分（代数）方程，使问题易于解决。在这种方法中采用了将函数离散的手段。 要求：理解这些近似解法，而且能够应用该近似解法。 有限元法: 首先将区域离散化，把连续体变化为离散结构；然后将连续体的能量极小值条件应用到离散结构，从而建立求解的方法。有限元法应用计算机进行计算，可以有效地解决各种复杂的工程问题。 变分法：是弹性力学中另一独立的求解方法。在变分法中根据平衡状态时的能量处于极小值的条件，建立变分方程，进行求解。弹性力学中的变分法和微分方程是沟通的，可以互相导出。 第五章 用差分法和变分法解平面问题 第一节 差分公式的推导 差分法是微分方程的一种近似数值解法。它不是去寻求函 数的解答，而是去求出函数在一些网格结点上的数值。 差分法就是把微分方程用有限差分代替，把导数用有限差商代替，从而把基本方程和边界条件（一般均为微分方程）改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题变换成为求解代数方程的问题。 1 差分法定义 第一节 差分公式的推导 第五章 用差分法和变分法解平面问题 第一节 差分公式的推导 2 推导差分公式 结点：网格的交点。 步长：网格的间距。 设任一函数f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数，它可能是某一个应力分量或者位移分量，也可能是应力函数等等。 1 差分法定义 第一节 差分公式的推导 第五章 用差分法和变分法解平面问题 第一节 差分公式的推导 2 推导差分公式 1 差分法定义 第五章 用差分法和变分法解平面问题 基本差分公式 第一节 差分公式的推导 利用基本差分公式，可以导出其它差分公式。 也叫抛物线差分公式 第五章 用差分法和变分法解平面问题 第一节 差分公式的推导 自己下面导出。 第五章 用差分法和变分法解平面问题 1、讨论不计体力的情况下，平面问题中的应力分量。