不等式的证明第一讲.docVIP

用“比较法”证明不等式 第一课时 作差比较法 教学目标 1、使学生理解、掌握如何应用比较法证明不等式； 2、培养学生应用转化、分类讨论等数学思想，提高分析问题、解决问题能力； 3、培养学生的思维品质------思维的严谨性、灵活性、深刻性。 教学重、难点 重点：如何应用作差比较法证明不等式； 难点：作差后，如何对“差式”进行适当变形，并准确判断符号。 教学准备 多媒体课件 教学过程设计 （一）、复习提问 1、不等式的含义 答：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子例如x＋y≥2xy，sinx≤1，x＞0 ，x＜3，x≠5等 。 不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号“＞”、小于号 “＜”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号“≥”）、不大于号（小于或等于号“≤”）连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。 ．②传递性． ③可加性；． ④可乘性，． ⑤可乘方、开方性，． 3、比较两数大小的一般方法有那些？ ①作差——变形——判断（与0比较）； ②作商——变形——判断（与1比较）。 （二）、课题引入 什么是不等式证明？如何利用作差法证明不等式呢？我们举例说明 例1? 求证：（2x+1）（3x-2）＞（5x＋9）（x-2）． 分析：这道题含义是对任意实数x，这个不等式都成立，那么如何证明这个不等式呢？（求差） 证明：∵（2x＋1）（3x-2）-（5x+9）（x-2） ＝（6x2-x-2）-（5x2-x-18） ＝x2+16≥16＞0， ∴（2x-1）（3x-2）＞（5x+9）（x-2）。 注：这种证明的理论依据是： a-b＞0 a＞b a-b＜0 a＜b a-b=0 a=b （三）、问题探究 1、利用配方法对差试进行等价变形，从而完成不等式的证明。 例2? 求证：x2＋3＞3x． 学生练习：①、求证a2+3b2≥2b(a+b) ②、求证a2+b2+2≥2a+2b 证明：①、因为a2+3b2-2b(a+b) ②、因为a2+b2+2-2a-2b = a2+3b2-2ab-2b2 =（a2-2a+1）+（b2-2b+1） = a2-2ab+b2=(a-b)2≥0 =(a-1)2+(b-1)2≥0 所以a2+3b2≥2b(a+b) 所以a2+b2+2≥2a+2b 2、利用因式分解法对差试进行等价变形，从而完成不等式的证明。 例3? 已知：a，b∈R＋．求证：a5＋b5≥a3b2＋a2b3． 分析：道题含义是对于a，b属于任意正实数，不等式都成立。 同学们思考如何用比较法证明。 证明：因为a5＋b5-a3b2-a2b3=（a5-a3b2）-（a2b3-b5）=a3（a2-b2）-b3（a2-b2） =（a2-b2）（a3-b3）=（a＋b）（a-b）2（a2+ab+b2） 又a，b∈R+，则a＋b＞0．又a2＋ab＋b2＞0，（a-b）2≥0， 所以（a＋b）（a-b）2（a2＋ab＋b2）≥0， 即a5＋b5≥a3b2＋a2b3． 学生练习：已知a、b是正数，且a≠b,求证a3+b3＞a2b+ab2 证明：因为a3+b3-a2b-ab2=(a3-a2b)-(ab2-b3) = a2(a-b)-b2(a-b)= (a-b)(a2-b2)= (a-b)2(a+b) 又因a、b是正数，且a≠b,所以(a-b)2 ＞0，(a+b) ＞0 即(a-b)2(a+b) ＞0 所以a3+b3＞a2b+ab2 3、利用通分的思路对差试进行等价变形，从而完成不等式的证明。 分析：这道题含义是对任意实数x，不等式都成立，但应该考虑左式分式有意义的条件，只不过在这道题中于对任意实数x，不等式都是成立的。 学生练习： ①、已知a≠2, ＜1， ②、已知a,b,m都是正数，并且a＜b,求证＞ 证明：①因为-1= = =，又因为a≠2，所以-（a-2）＜0,所以＜1 ②、因为—== =，由于a,b,m都是正数，并且a＜b,所以b-a＞0, b+m＞0, 因而＞0，即＞ （四）归纳、小结 这节课我们主要学习了用求差比较法证明不等式，它是不等式证明中最基本、最重要的证明方法，用这种方法的证明的理论依据是： a-b＞0 a＞b a-b＜0 a＜b a-b=0 a=b 可以归纳为：（1）求差；（2）变形；（3）判断符号三步骤。 并灵活运用了配方、因式分解和通分进行等价转化，从而达到证明的目的。 因此，理解转化、使问题简化是求差比较法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，同学们在今后学习中要