8贝塞尔曲线教学讲义.pptVIP

8.贝塞尔曲线和曲面 贝塞尔曲线引论 贝塞尔曲线的性质 贝塞尔曲线的算法 贝塞尔曲面 8.1贝塞尔曲线引论 法国工程师Pierre Bézier在1862年提出了便于设计师应用的一类参数曲线为雷诺公式设计汽车，称为Bézier曲线，受到工业界和学术界的重视。1872年英国的福里斯特发现Bézier曲线可以方便地用控制顶点的Bernstein基函数来表示，成为被广泛采用的Bézier曲线的定义。 在二维或三维空间给定n+1个点P0、P1、P2、…、Pn。参数t的n次的Bézier曲线是 其中P0、P1、…、Pn都是二维或三维空间的点，称为控制点，称Bk,n(t)是n次Bernstein基函数. ， Bernstein基函数的性质 1、非负性： Bk.n(t) ? 0，而且， Bk.n(0)=?k,0, Bk.n(1)=?k,n 当k =1,2,…,n-1时 2、权性： 3、对称性： 4、导数： 5、最大值： 在t=k/n时取得最大值。 6、递推公式： 事实上，当k =1,2,…,n-1时 7、升阶：当k=0,1,…,n时 证明： 第三式可以由前两式推出。 8.2贝塞尔曲线的性质 1、端点的位置：Bézier曲线通过第一个控制点P0和最后一个控 制点Pn。这是因为 2、端点的切线：Bézier曲线的切矢量是 7、变差缩小性 若Bezier曲线的特征多边形P0P1...Pn是一个平面图形，则平面内任意直线与P(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了Bezier曲线比其特征多边形的波动小，也就是说Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺。特别地，凸的控制多边形，生成凸的Bezier曲线。 设P0、P、P2是一条抛物线上顺序三个不同的点。过P0和P2点的两切线交于P1点，在P点的切线交P0P1和P2P1于Q和R，则抛物线的三切线定理 是 P0 P1 P2 P Q R 当P0和P2固定，引入参数t，令上述比值为t:(1-t), Q = (1-t)P0+tP1, R = (1-t)P1+tP2，P = (1-t)Q+tR, 当t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形 的第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。 8.3贝塞尔曲线的算法