现代设计方法教学课件作者张大可第12章节等参元课件幻灯片.pptVIP

重庆大学机械工程学院 重庆大学机械工程学院 第12章 等参元 12.1 等参数单元的引入 提高单元计算精度的方法： （1）单元细分 但单元分细会增加单元数目和结点数目，从而大大增加所要求解的方程数目，所以有时是不经济的。 （2）构造高精度单元 如采用六结点三角形单元，其位移插值函数是完全二次多项式 ；也可以采用四结点矩形单元，其位移插值函数是双线性的 。 2 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第12章 等参元 四结点矩形单元评价： （1）精度较高，方程组数目不太多（结点数为4）； （2）只适合规则边界。 例如，位移水平分量为： 将任意不平行于坐标轴的边的方程式： y ＝ kx＋b ( k ≠ 0 ) 代入（c），则得： u ＝ Ax2＋Bx＋C。即位移不再是线性变化的了，该边上的插值不能由其上两个结点处的函数值所唯一确定。 因此提出的任务是： 构造具有较高计算精度，适合曲线边界的单元。 矩形单元和四边形单元 * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第12章 等参元 12.2 平面四结点等参数单元 12.2.1 形函数 考察图（12—2 b）所示的正方形单元，单元边长为2，在单元的形心处建立局部坐标ξ O η。正方形单元的位移插值函数可采用双线性函数： 图12-2 四结点等参元 * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第12章 等参元 将结点1，2，3和 4的坐标代入式（12—1），可求得单元内任意一点的位移为 式中： I 是单位阵 是单元的节点位移向量列阵。 为形函数。 * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第12章 等参元 局部坐标下正方形单元的位移插值函数式（12-2）可以写成 其中ui ,vi（i = 1，2，3，4）为结点位移。 * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第12章 等参元 形函数在正方形单元区域内是坐标的二次函数，在边界上因有一个坐标为常量，仅为另一个坐标的线性函数。 现代设计方法——第12章 等参元 重庆大学机械工程学院 * 12.2.2 坐标变换 （1）问题的提出 可以证明，图（12-2b）的正方形单元式位移模式(12-1)是满足收敛条件的。如果能恰当地将图（12-2a）的任意四边形单元变换成（12-2b）的正方形单元，则可以保证任意四边形单元在原坐标系下满足收敛条件。变换须满足： ①任意四边形与正方形单元之间的点一一对应，即坐标变换的相容性； ②变换后的位移插值函数满足解的收敛条件。 （2）坐标变换式 （a） (b) (3) 变换的相容性 ①边界点 （12-5）是与Ni(ξ,η) 一样的线性函数，在 正方形的一条边上， Ni(ξ,η)是一个坐标ξ (或η)的线性函数，因此（12-5）在每一条边界上均是一线性变换。线性代数中已证明，线性变换式一一对应的，即任意四边形单元的四条边与（12-2b）的正方形单元的边是一一对应的。 * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第12章 等参元 ②非边界点 只须过正方形区域内的点作水平或垂直直线，同样可以证明。 例如 (ξ,η) 平面上直线ξ＝0，由于Ni(ξ, η)是双线形函数，通过式（12-5）的变换，直线ξ＝0 一定变为 (x,y) 平面上的直线。直线ξ＝0的两端点分别是 (ξ, η) ＝（0,1）和 (ξ, η) ＝（0, -1）。而我们已经证明四边形的四条边的变换是点点对应的，因此上面两点一定对应任意四边形1-2边和3-4边的中点。 （a） (b) （4）直接由坐标变换式 1）在局部坐标的四个节点处， (12-5) 给出整体坐标下任意四边形的四个结点。即，利用形函数的性质直接可得： ( i = 1,2,3,4 ) 2）在局部坐标的四条边上，给出整体坐标下的四条直线。如在1-2边上， Ni(ξ, η) 仅为ξ的一次函数，(12-5) 成为以ξ为参数的直线方程。 3）在正方形的任意点(ξ, η)处，给出整体坐标下的对应点（x ， y)。 位移插值函数公式（12-4）和坐标变换公式 (12-5) 具有完全相同的形式，它们用同样数目的对应结点值作为参数，并有完全相同的形状函数Ni(ξ, η)作为这些结点值前面的系数，我们称具有这种特点的