现代设计方法教学课件作者张大可第2章节优化设计的数学基础课件幻灯片.pptVIP

第2章 优化设计的数学基础 2.1 目标函数的泰勒表达式 现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础 * 重庆大学机械工程学院 当目标函数为一元函数时，由泰勒公式知：若函数 在含有 点的某个开区间 内具有直到 阶导数，则当 在 内时， 可以表示为 的一个 次多项式与一个余项 的和： 在实际计算中忽略二阶以上的高阶微量，只取前三项，则目标函数可近似表达为 或 * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础 当目标函数为多元函数时，在满足一定条件下，目标函数 在 点 附近也可以展开成泰勒多项式，一般只取前三项，其形式与一元函数展开式的前三项相似，即 （2-1） 此式称为函数 的泰勒二次近似式。其中， 是由函数在 点 的所有二阶偏导数组成的矩阵，称为函数 在点 的二阶偏导数矩阵或海赛（Hessian）矩阵，经常记作 。二阶偏导数矩阵的组成形式如下： （2-2） * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础 例2-1 用泰勒表达式展开的方法将函数 在点 简化成二次函数。 解：分别求函数在点 的函数值、梯度和海赛矩阵 * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础 求展开式的二次项 代入式（2-1）得简化的二次函数 将 代入简化所得的二次函数中，其函数值也等于-3，与原函数在点 的值相等。 * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础 2.2 函数的方向导数和梯度 我们需要研究寻找极值点的途径，即研究在设计空间中沿什么方向才能迅速地越过不同的等值线达到等值线族的中点——极值点。显然，函数值下降最大的方向才是向极值点逼近最快的方向。为此，首先应研究函数的变化率。 2.2.1方向导数 由多元函数的微分学知，对于一个连续可微多元函数 ，在某一点 的一阶偏导数为 （2-4） 简记为 （2-5） * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础 它即是该函数 在 点沿各坐标轴 这些特定方向的变化率。现在以二元函数 为例，求其沿任一方向 S 的函数变化率，设 S 与两坐标轴之间的夹角分别为 ，如图2-1所示。 该二元函数 在点 沿任意方向S的变化率可用函数在该点的方向导数表示，记作 2-1 函数的变化率 （2-6） * 重庆大学机械工程学院 现代设计方法——第2章 优化设计的数学基础 同理，可以推导出多元函数 在 点沿方向 S 的方向导数为