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高等数学电子教案 重庆邮电大学数理学院 高等数学教学部 沈世云 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念 3.不定积分的几何意义 例3. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 二、 基本积分表 三. 不定积分的性质 例8. 求 例9. 求 小结 一、第一类换元法 例5. 求 例7. 求 例8. 求 例9. 求 常用的几种配元形式: 例11. 求 例12. 求 二、第二类换元法 例17. 求 例18. 求 例19. 求 三、小结 一、基本内容 解题技巧: 例8. 求 例9. 求 例10. 求 例11. 求 说明: 说明: 例12. 已知 第四节 有理函数的积分 一、 有理函数的积分 四种典型部分分式的积分: 例4. 求 例5. 求 例6. 求 例7. 求 二 、可化为有理函数的积分举例 2. 简单无理函数的积分 例9. 求 内容小结 讨论积分 令 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 解: 已知 重庆邮电大学市级精品课程------高等数学 例25 求 解 令 基本积分表 ? 两类积分换元法： （一）凑微分 （二）三角代换、倒代换、根式代换 基本积分表(14)～（22） 一、基本内容 二、小结 三、思考题 第三节 分部积分法 问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分(integration by parts)公式 例1 求积分 解（一） 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 例2 求积分 解 （再次使用分部积分法） 总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数) ? 例3 求积分 解 令 例4 求积分 解 总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 . ? 例5 求积分 解 例6 求积分 解 注意循环形式 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为 例7. 求 解: 令 , 则 原式 = 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 解: 令 , 则 原式 = 解: 令 则 原式 令 解: 令 则 ∴ 原式 = 解: 令 则 得递推公式 递推公式 已知 利用递推公式可求得 例如, 重庆邮电大学市级精品课程------高等数学 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 例4 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 重庆邮电大学市级精品课程------高等数学 的一个原函数是 求 解: 说明: 此题若先求出 再求积分反而复杂. 重庆邮电大学市级精品课程------高等数学 例13 求积分 解 令 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法 初等函数 求导 初等函数 积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 本节内容: 有理函数: 时, 为假分式; 时, 为真分式 有理函数 相除 多项式 + 真分 式 分解 其中部分分式的形式为 若干部分分式之和 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和. 由代数学定理: Q(x)=b0(x-a)? …(x-b)? (x2 +px+q)? …(x2+rx+s)? 难点 将有理函数化为最简分式之和. （1）分母中若有因式 ，则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例2 例3 整理得 分解后的部分分式必须是最简分式. 变分子为 再分项积分 例2 求 解 例3 求 解 例4 求 利用基本积分表的公式把被积函数中的一部分凑成 中间变量的微分，常见的有： 解: 令 则 想到公式 例6 求 解 想到 解: (直接配元) 解: 类似 重庆邮电大学市级精品课程------高等数学 解: ∴ 原式 = 万能凑幂法 重庆邮电大学市级精品课程------高等数学 例10：求 解：