高考数学之圆锥曲线基本概念复习.docVIP

圆锥曲线基本概念回归课本复习材料 一．考试要求： (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. (4)了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题： ①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 一、曲线与方程 在直角坐标系中，如果某曲线上的 与一个二元方程的实数建立了如下关系： ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解. ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. ⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点其坐标与方程的一种关系，曲线上任一点是方程的解；反过来，满足方程的解所对应的点是曲线上的点. 注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=0 二、圆的方程 （1）圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是. 圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：. （2） 圆的一般方程： 给出方程： ①当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径. ②当时，方程表示一个点. ③当时，方程无图形（称虚圆） （3）直线与园的位置关系 设圆：； 直线：； 圆心到直线的距离. ①时，与相切； ②时，与相交； 设有两个交点，则其公共弦方程为： .（相切的时候为内公切线） ③时，与相离. 三、椭圆、双曲线、抛物线 ： 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹 平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(02a|F1F2|)的点的轨迹 平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹 标准方程 +=1(ab0) -=1(ab0) y2=2px(p0) 图形 顶点坐标 (±a,0)(0, ±b) (±a,0) (0,0) 对称轴 x轴，长轴长为2a y轴，短轴长为2b x轴，实轴长为2a y轴，虚轴长为2b x轴 焦点坐标 (±c,0) c= (±c,0) c= (，0) 焦距 2c 2c 焦准距p，焦半径 = 渐近线：y=±x 准线：x= - 当P为短轴端点时 ∠PF1F2最大,近地：a-c远地：a+c 焦点到渐进线距离为b 焦点弦＝x1+x2+p = 1.椭圆的定义： 椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视. 若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段. 若这个距离之和小于||，则这样的点不存在； 2.椭圆的标准方程：（＞＞0） 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母， 则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. (二)椭圆的简单几何性质（＞＞0）. 1．椭圆的几何性质：设椭圆方程 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b， 5.椭圆的的内外部 点在椭圆的内部 6.焦点三角形经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角结合起来， 建立+、等关系。面积公式： (三)双曲线及其标准方程 1双曲线的定义： 平面内与两个定点、的距离的差的绝对值等于常数2a（小于||）的动点的轨迹叫做双曲线. 在这个定义中，要注意条件2a＜||，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解. 若2a=||，则动点的轨迹是两条射线；若2a＞||，则无轨迹. 若＜时，动点的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若＞时，轨迹为双曲线的另一支. 而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 2.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数， 则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. (四)双曲线的简单几何性质 1.双曲线实轴长为2a，虚轴长为2b.. 2.双曲线的渐近线方程为或表示为.若已知双曲线的渐近线方程是 ，即，那么双曲线的方程具有以下形式：，其中是不为零的常数. 3.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为渐近线方程：. (2)若渐近线方程为双曲线可设为. (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）. （4）双曲线焦点三角形面积：，(高) (五)抛物线 抛物线的内外部 点在抛物线的内部. (六)直线与圆锥曲线相交 1．弦长公式 抛物线y2=2px(p0)的焦点弦（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;