数学竞赛2008年数列答案.docVIP

一、国内各类试题 A．高考题 1．（2002天津）设数列满足，求证： （1） （2） 2．（2003天津）设为常数，且 （1）证明对任意； （2）假设对任意有，求的取值范围. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立； （ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则 那么 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立. 证法二：如果设 用代入，可解出. 所以是公比为－2，首项为的等比数列. 即 （2）解法一：由通项公式 等价于 ……① （i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为 即为 ……② ②式对k=1，2，…都成立，有 （ii） 即为 ……③ ③式对k=1，2，…都成立，有 综上，①式对任意n∈N*，成立，有 故a0的取值范围为 解法二：如果（n∈N*）成立，特别取n=1，2有 因此 下面证明当时，对任意n∈N*， 由an的通项公式 （i）当n=2k－1，k=1，2…时， （ii）当n=2k，k=1，2…时， 故a0的取值范围为 3．（2003江苏） 设如图，已知直线及曲线C：，C上的点Q1的横坐标为（）.从C上的点Qn（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点，再从点作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列 （Ⅰ）试求的关系，并求的通项公式； （Ⅱ）当时，证明； （Ⅲ）当a=1时，证明 （Ⅰ）解：∵ ∴ ∴ ， ∴ （Ⅱ）证明：由a=1知 ∵ ∴ ∵当 ∴ （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时， 因此 = 4．（2004陕西）已知数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对任意的整数，有 . （Ⅰ）解：由 由 由 （Ⅱ）解：当时，有 …… 所以 经验证a1也满足上式，所以 （Ⅲ）证明：由通项公式得 当且n为奇数时， 当为偶数时， 当为奇数时， 所以对任意整数m4，有 5．（2004年重庆） 设数列满足 （1）证明对一切正整数n 成立； （2）令,判断的大小，并说明理由。 （I）证法一：当不等式成立. 综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立. 证法二：当n=1时，.结论成立. 假设n=k时结论成立，即 当的单增性和归纳假设有 所以当n=k+1时，结论成立. 因此，对一切正整数n均成立. 证法三：由递推公式得 上述各式相加并化简得 （II）解法一： 解法二： 解法三： 故. 6．（2004年湖北）已知 （I）已知数列极限存在且大于零，求（将A用a表示）； （II）设 （III）若都成立，求a的取值范围. 解：（I）由 （II） （III） （i）当n=1时结论成立（已验证）. （ii）假设当 故只须证明 即n=k+1时结论成立. 根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立. 故 7．（2005辽宁） 已知函数设数列}满足，数列}满足 （Ⅰ）用数学归纳法证明；（Ⅱ）证明 解：（Ⅰ）证明：当 因为a1=1， 所以 ………………2分 下面用数学归纳法证明不等式 （1）当n=1时，b1=，不等式成立， （2）假设当n=k时，不等式成立，即 那么 ………………6分 所以，当n=k+1时，不等也成立。 根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立。 …………8分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， 所以 …………10分 故对任意………………（12分） 8．(2005重庆卷) 数列{an}满足. （Ⅰ）用数学归纳法证明：； （Ⅱ）已知不等式，其中无理数e=2.71828…. （Ⅰ）证明：（1）当n=2时，，不等式成立. （2）假设当时不等式成立，即 那么. 这就是说，当时不等式成立. 根据（1）、（2）可知：成立. （Ⅱ）证法一： 由递推公式及（Ⅰ）的结论有 两边取对数并利用已知不等式得 故 上式从1到求和可得 即 （Ⅱ）证法二： 由数