第七讲 有限元.pptVIP

* §4.3 平面问题的三角形三节点单元求解 一. 三角形三节点单元的刚度分析 1. 选择座标, 列出单元节点位移和节点力 1). 座标 单元局部座标与整体座标方向一致。则：转换矩阵[T]=I，故： 目标: 求 中的 节点逆时针编号 思路 单元内任一点位移 单元内任一点应变 物理关系 插值函数 几何方程 已知 虚功原理 2. 选择位移插值函数 由5.2节所述,对函数的要求, 取为: 有6个待定系数,与单元自由度相等,故系数能唯一确定 注：{F e}与{δe}取相同的形式，是为了便于分析计算 取： 6自由度 2). 节点力与位移 由弹性力学平面问题可知： 3. 求待定系数，用节点位移表示单元内任一点位移 将各节点位置座标,代入插值函数 [A]为节点座标值构成的已知矩阵, 故其逆阵[A]-1可以求出。解上述方程，可求得系数，表示为 ： 则单元内任一点(x,y)的位移可用节点位移表示为： 形状函数矩阵N 形状函数矩阵记为: 6×6方阵 2×6矩阵 2×6矩阵 其中： 第一列代数余子式 第二列代数余子式 第三列代数余子式 形状函数 故：则单元内任一点(x,y)的位移可用节点位移表示为： 4. 单元内任一点应变——节点位移关系 由平面问题几何方程： 得： 写成矩阵： B——三角形单元几何矩阵(应变矩阵) 各元素均为已知坐标, 故为常量 简写成： 5. 单元内任一点应力——节点位移关系 因为平面应力问题与平面应变问题物理方程有差别，故分别考虑 1). 平面应力问题 平面应力问题弹性矩阵D 2). 平面应变问题 平面应变问题弹性矩阵D 统一形式 6. 单元刚度矩阵分析 1). 虚位移——质点(物体)在可能的方向上发生的假想位移。 即约定的方向:x,y方向 即假设的位移 虚应变——虚位移形成的假想应变。 虚应力——虚应变产生的假想应力。 虚功——力在虚位移上所做的功。 2). 虚功原理——系统保持平衡的充要条件是：外力在虚位移上做的功等于内力在相应虚位移上做的功。 设单元各节点力为： 设单元各节点虚位移为： 结点力在虚位移上做的虚功： 由结点虚位移引起的单元内任一点的虚应变： 由虚应变产生的虚应力： 则内力所做的虚功(即应变能): 微体积 由虚功原理 由单元刚度矩阵的概念 虚位移原理计算单元刚度矩阵通式 对三角形单元，积分式中[B]，[D]为常数组成的矩阵，故 7. 三角形单元刚度矩阵 Δ——三角形面积，t——厚度 8. 三角形单元的特点 1). 三角形单元的刚度矩阵为对称，奇异矩阵。 2). 主对角线元素为正值 2). 在单元内任一点：由于 ，而[D]为常数构成，[B]只与三个节点的座标有关，故单元内部应变为常量，从而应力在单元内部为常量。 3). 三角形越小， 计算的近似程度越高。 二. 构造整体刚度矩阵 1). 节点号为i, j,k的单元, 其刚度矩阵元素在总刚度矩阵中的位置如图所示。 2k－1 2k 2i－1 2i 2j－1 2j 2i－1 2i 2j－1 2j 2k－1 2k 2). 先定主对角线元素位置，然后由行、列号再定其他元素位置 三. 单元内应力计算 如：节点号为2, 4,5的单元, 其刚度矩阵元素在总刚度矩阵中的位置为 根据不同的问题(平面应力，平面应变)采用不同的弹性矩阵 定义： ——应力矩阵 与2节点编号有关 与4节点编号有关 与5节点编号有关 §4.4 平面问题的三角形单元解题实列 2 1 3 4 5 6 y x ① ② ③ ④ 有一正方形板，沿对角受压力作用，板厚t=0.1m, 载荷P=20kN,设弹性模量为E，泊松比为零。求应力分布 解 由于结构和受载荷的对称性，只取1/4作为计算对象。 1. 座标选取,单元节点划分 如图所示, 共分四个单元,6个节点.由对称性可知:1、2、4节点无水平位移,4、5、6结点无垂直位移。 ① ② ④单元为同一形式， ③为另一种形式。按平面应力问题模型考虑 2. 计算单元刚度矩阵 弹性矩阵[D]只与力学常量E，μ有关。由平面应力问题， 几何矩阵与单元节点座标有关，应分别计算 ①单元 节点座标为： ②单元 节点座标为： 编号时,先编主对角线 由于① ②单元的[B]相同,故单元刚度阵也相同 ③单元 节点座标为： ④单元 节点座标为： * * * * *