概率论 变量函数的分布.docVIP

设二维离散型随机变量()的函数，则对于的任一可能取值z， 其中S为使得f(x, y)=z的所有(x，y)组成的集合.即 例16 设()的概率分布表 0 2 2 求的概率分布. 解：的可能取值为，0，1，4，则 ????????= 类似可得取其它值的概率，即的概率分布表为 0 1 4 例17 设随机变量独立且均服从泊松分布，即概率分布分别为 ??? ,?? 求的概率分布. 解：的可能取值为0，1，2，…，k，… ???????? ???????? 其中k=0，1，2，…，即服从参数为的泊松分布. 二维连续型随机变量的函数的分布 设二维连续型随机变量的概率密度为，随机变量的函数， 的分布函数为，则 ??? 牋牋牋?型随机 INCLUDEPICTURE http://4/NCourse/gltj/4/gltj4921.files/image015.gif \* MERGEFORMATINET 其中S为使的所有组成的集合，即 。 特别地，当时，(图7) ，则 的概率密度为 或 当与独立时，因为，所以有 或 ， 。 ? ， 求的概率密度。 解： ?? ?????? 其中；；，则积分 ???????????? 的概率密度 ??? 即仍服从正态分布：~ 推广： 设随机变量相互独立且均服从正态分布： ，则对于不全为零的常数有 例19设服从区域D上的均匀分布，其中，求 的分布函数及概率密度。 解：的概率密度 的分布函数 ，则 当， ? 当， 当， 当z2， ???即,= 的概率密度 连续型随机变量的商的分布 ???? 设二维连续型随机变量 其中(图 9) ，即 ?? ???????? 则的概率密度 ??? 牋牋牋?度 INCLUDEPICTURE http://4/NCourse/gltj/4/gltj4931.files/image030.gif \* MERGEFORMATINET 牋牋??度 INCLUDEPICTURE http://4/NCourse/gltj/4/gltj4931.files/image034.gif \* MERGEFORMATINET 当与独立时，因为，所以有 例20 设随机变量与独立且均服从指数分布，概率密度分别为 ?，???? 求随机变量的概率密度。 解： ????因为，所以 ???? ????又 ???? 牋牋牋牋?? INCLUDEPICTURE http://4/NCourse/gltj/4/gltj4932.files/image028.gif \* MERGEFORMATINET ????即, ??????????? 连续型随机变量的平方和的分布 设二维连续型随机变量的概率密度为，随机变量的函数， 的分布函数为，则. 显然，当；当时, 其中S为使的所有组成的集合，即。即 ???? 的概率密度. 例21 设与独立且均服从标准正态分布，求的概率密度。 解：设的分布函数为 ，由与独立知的概率密度 ????? ???则当；当时 ????? ???令，则 ????? ???即, ???的概率密度 ????? ??????????? 例22 设系统L由两个相互独立的系统 连接而成，连接的方式分别为(1) 串联；(2) 并联；(3) 备用(当系统损坏时，系统开始工作) ，已知的寿命分别为随机变量与，概率密度分别为 ??? ?，???? 其中，分别就以上三种连接方式求出系统L的寿命的概率密度。 ?解：与的分布函数分别为 ??? ?? ?? ，?? ???(1) = ， 的分布函数 ????? = ????? 的概率密度 ???(2) = ，的分布函数 ????? = ??? 的概率密度 ????? ???(3) ，的概率密度(作业题) ?? ??????