人教A版高中数学选修2-1课件：第二章章末小结(共117张PPT).pptx

第二章章末小结1.椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质　2.抛物线的标准方程和简单几何性质　 题型一:圆锥曲线的标准方程与几何性质已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为2,它的一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同,则双曲线的渐近线方程为(　).A.y=±x　　　　　　　B.y=±xC.y=±xD.y=±x【方法指导】由抛物线的标准方程得到焦点坐标,再根据双曲线的几何性质求得双曲线的基本量,从而得到双曲线的渐近线方程.【解析】因为抛物线y2=16x的焦点为(4,0),所以双曲线的右焦点为(4,0),所以c=4.又双曲线的离心率为2,得a=2,b=2,故双曲线的渐近线方程为y=±x.【答案】D【小结】在研究圆锥曲线的标准方程和性质时,先要确定圆锥曲线的方程类型,再确定圆锥曲线的一些几何要素与方程间的关系. 题型二:轨迹方程一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x-91=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线.【方法指导】由圆与圆的位置关系转化为圆心距与半径的关系,根据圆锥曲线的定义判断出动圆圆心的轨迹,再由基本量写出圆锥曲线的方程.【解析】设动圆圆心为M(x,y),半径为R,设已知圆的圆心分别为O1、O2.将圆的方程分别配方,得(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100,以O1O2所在直线为x轴,其中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系.当圆M与圆O1外切时,有|O1M|=R+2,　①当圆M与圆O2内切时,有|O2M|=10-R.　②将①②两式的两边分别相加,得|O1M|+|O2M|=12|O1O2|=6.根据椭圆的定义,圆心M的轨迹是以O1、O2为焦点的椭圆,且a=6,c=3,b2=a2-c2=27.故动圆圆心M的轨迹方程是+=1,且轨迹是椭圆.【小结】本题要善于发现轨迹的几何性质,从而充分利用曲线的定义来求解.　 题型三:中点弦问题已知抛物线y2=4x的焦点为F,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是抛物线上的点,且||,||,||成等差数列,若AD的垂直平分线与x轴交于点E(3,0),求点B坐标.【方法指导】根据垂直平分线的特点和||,||,||成等差数列,可求出点B的坐标.【解析】因为抛物线y2=4x的焦点F为(1,0),由||,||,||成等差数列,得2(x2+1)=x1+1+x3+1,即x2=,所以可以设弦AD的中点坐标是(x2,t)(t≠0),又点A,D在抛物线上,所以=4x1,=4x3,两式相减,得(y1-y3)(y1+y3)=4(x1-x3),所以直线AD的斜率kAD===,因此AD的垂直平分线的方程为y-t=-(x-x2),令y=0,得到点E的坐标是(2+x2,0),由E(3,0),得x2=1,又点B在抛物线上,得y2=±2.所以点B坐标为(1,2)或(1,-2).【小结】遇到弦的中点问题常采用点差法求解. 题型四:最值问题已知椭圆C:+=1(ab0)的焦距为4,其长轴长和短轴长之比为∶1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,T为直线x=t(t∈R,t≠2)上纵坐标不为0的任意一点,过点F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.①若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点),求t的值;②在①的条件下,当最小时,求点T的坐标.【方法指导】(1)由已知可得a,b,c间的关系,由此能求出椭圆C的标准方程.(2)①设直线PQ的方程,将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式,结合已知条件能求出t.②设点T的坐标,分别求出|TF|和|PQ|,由此能求出最小时,点T的坐标.【解析】(1)由已知可得解得所以椭圆C的标准方程是+=1.(2)①由(1)可得点F的坐标是(2,0).设直线PQ的方程为x=my+2,将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得(m2+3)y2+4my-2=0,其判别式Δ=16m2+8(m2+3)0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,于是x1+x2=m(y1+y2)+4=.设M为PQ的中点,则点M的坐标为(,).因为TF⊥PQ,所以直线FT的斜率为-m,其方程为y=-m(x-2).当x=t时,y=-m(t-2),所以点T的坐标为(t,-m(t-2)),此时直线OT的斜率为,其方程为y=x.将点M的坐标为(,)代入,得=·.解得t=3.②由①知T为直线x=3上任意一点,可得点T的坐标为(3,-m).于是|TF|=,|PQ|======.所以=·=·=·=·≥·=.当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.故当最小时,点T的坐标是(3,1)或(3,-1).【小结】解决圆锥曲线最值或范围问题的基本思想是建立目标函数和不等关系,建立目标函数的关键是选用一个