教材-综合问题分析.docVIP

空间几何元素的综合问题分析 刘志宇 利用投影方法和通过建立三投影面体系，使我们得以在平面上以图示的方式定量表示空间几何元素点、直线、平面的空间关系。前面介绍的点、直线、平面的投影知识，侧重于说明每一基本问题的投影特性、作图原理与方法。由于空间几何关系的复杂性和多样性，实际问题往往是综合的，需要用到多种作图方法才能解决。 求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：1）分析题意，2）明确所求结果，找出解题方法，3）确定解题步骤，并作图求解。 下面我们举例说明： 例1 已知三条直线AB、CD和EF，求作一直线L与AB平行，并且与CD、EF均相交。 分析 首先我们可以由图判断出三条直线彼此交叉，直线L一定在通过CD直线且平行于AB直线的平面上，并且与直线CD、EF相交。(图a、b) 解 如图c,1）过D点作一直线与AB直线平行，即作出该直线的两面投影，这意味着在空间上建立了过CD直线且平行于AB直线的平面。2）利用辅助平面法求EF直线与该平面的交点Ⅰ：即延长ef与cd相交，这相当于过EF直线作铅垂面。求该铅垂面与平行于AB直线的平面的交线。求出交线与EF直线的交点Ⅰ。3)过交点Ⅰ作直线L平行与AB直线，即得所求。 本题求解利用了辅助平面法。实际上第一步骤所作的平行于AB直线的平面就是辅助平面，也是本题求解的关键。 例2 已知点A到△CDE的距离为15，求a。 分析 满足题定条件的点的集合，是一个与△CDE平面平行且距离15的平面。据点A在所作平面上，由a′可求得a。 这样的平面有两个，说明此题有两解，一般只须作出其中一解。 解 如图b,1）过△BCD上一点作△CDE所在平面的垂线：过B、C两点分别作△CDE的正 平线和水平线。然后由b、b′分别作直线垂直于水平线的水平投影和正平线的正面投影。根据垂直定理，这两直线所表示的空间直线与△BCD 互相垂直。2）在该直线上任选一点Ⅰ，并求出ⅠB两点的距离。利用定比性确定点Ⅱ，使ⅡB = 15mm。3）过点Ⅱ作平面平行△BCD，如图c。根据点A在该平面上，由a′求得a。 例3 以AB为底边作等腰三角形ABC，点C在EF上，完成该等腰三角形。 分析 由于等腰三角形的高垂直并平分其底边，显然点C应在底边AB的中垂面上。又点C在EF上，故点C应为直线EF与该中垂面的交点。 解 如图b，1）过底边AB的中点作AB的垂直面：过底边AB的中点作正平线和水平线，使正平线的正面投影垂直a′b′, 水平线的水平投影垂直ab。2）求EF与该正平线和水平线的交点C。3)完成等腰三角形ABC的投影。 例4 求平行直线AB和CD的距离。 分析 平行直线间的距离为一直线上任一点到另一直线的距离。求点到直线的距离可通过点作直线的垂直面（过点与直线垂直的所有直线都在该平面上），求直线与该垂直面的交点获得。如图b。 解 如图c，1）过直线AB上任一点Ⅰ作直线CD的垂直面：由1、1′分别作水平线和正平线的投影，让水平线的水平投影垂直cd和正平线的正面投影垂直c′d′。2）求直线CD与该垂直面的交点Ⅱ。3）求点Ⅰ、Ⅱ的距离即为所求。 例5 求两交叉直线AB和CD的公垂线。 分析 如图b, 公垂线必然垂直过直线CD且平行直线AB的平面（确定公垂线的空间方向）。由直线AB上一点向该平面作垂线并相交，与公垂线两垂足共四点在空间形成一矩形关系。由此可找到两垂足（确定公垂线的空间位置）。 解 如图c，1）过点C作直线平行直线AB：过c′、c作直线分别平行a′b′和ab。形成过直线CD且平行直线AB的平面。2）过点B作该平面的垂线：过b′、b作直线分别垂直平面的正平线的正面投影和水平线的水平投影。3）求出垂线与平面的交点K。4）利用矩形关系，过点K作直线平行直线AB，与直线CD的交点即为垂足Ⅰ：过k′作直线平行a′b′, 与c′d′相交得1′；过k作直线平行ab, 与cd相交得1。4）同理，过垂足Ⅰ作直线平行直线BK,求出另一垂足Ⅱ。连接Ⅰ、Ⅱ即得所求。