2018年青岛中考数学压轴突破：几何动态探究问题—双动点.docx

几何动态探究问题—双动点1.如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，同时动点Q从点C出发，以相同的速度沿射线BC运动，当点P出发后，过点Q作QE⊥BD，交直线BD于点E，连接AP、AE、PE、QE，设运动时间为t（秒）．（1）请直接写出动点P运动过程中，四边形APQD是什么四边形？（2）请判断AE，PE之间的数量关系和位置关系，并加以证明；（3）设△EPB的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（4）直接写出△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍时t的值．第1题图解：（1）四边形APQD是平行四边形；【解法提示】∵四边形ABCD是正方形，P、Q速度相同，∴∠ABE＝∠EBQ＝45°，AD∥BQ，AD＝BC＝2，BP＝CQ，∴BC＝AD＝PQ，∴四边形APQD是平行四边形.（2）AE＝PE，AE⊥PE；理由如下：∵EQ⊥BD，∴∠PQE＝90°?45°＝45°，∴∠ABE＝∠EBQ＝∠PQE＝45°，∴BE＝QE，在△AEB和△EPQ中，，∴△AEB≌△EPQ（SAS），∴AE＝PE，∠AEB＝∠PEQ，∴∠AEP＝∠BEQ＝90°，∴AE⊥PE；（3）过点E作EF⊥BC于点F，如解图①所示：BQ＝t＋2，EF＝，∴y＝××t，即y＝；第1题解图①　（4）△EPQ面积是△EDQ面积的2倍时t的值为1或3.【解法提示】分两种情况：①当P在BC延长线上时，作PM⊥QE于M，如解图②所示：第1题解图②∵PQ＝2，∠BQE＝45°，∴PM＝PQ＝，BE＝QE＝BQ＝（t＋2），∴DE＝BE?BD＝（t＋2）?2＝t-,∵△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍，∴×（t＋2）×＝2×（t?）×（t＋2），解得t＝3或t＝?2（舍去），∴t＝3；②当P在BC边上时，解法同①，此时DE＝-t，∵△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍，∴×（t＋2）×＝2×（-t）×（t＋2），解得：t＝1或t＝?2（舍去），∴t＝1；综上所述，△EPQ的面积是△EDQ面积的2倍时t的值为：1或3．2.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，沿折线AB?BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）（2）连接PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连接DF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．①当点Q在线段CD上运动时，求S与t之间的函数关系式；②直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1：2时t的值．　　　　　　　　　　第2题图解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，由勾股定理得：AC＝＝8，∵点Q在CA上，以每秒个单位移动，∴CQ＝t，∴AQ＝AC-CQ=8?t．（2）∵P点从AB-BC总时间=4s,∵点P在AB或BC上运动，点Q在AC上，∴PQ不可能与AC平行，①当点P在AB上，则PQ//BC，此时，即，解得t=;②当点P在BC上,此时PQ//AB，∴，即，解得t＝3s，综上所述，t＝s或3s时，PQ与△ABC的一边平行；（3）①∵点D是AC的中点，∴CD=4，当点Q运动到点D时，＝4，解得t＝3，点Q与点E重合时，＝AC＝8，得t＝，分三种情况讨论如下：（i）点Q与点E重合时，t＝AC＝8，得t＝，当0≤t≤，此时矩形PEQF在△ABC内，如解图①所示，∵AP＝5t，易得AE＝4t，PE＝3t，∴EQ＝AQ－AE＝8－t－4t＝8－t，∴S＝PE×EQ＝3t（8－t）＝－16t２＋24t；　　　　　　　　　　　第２题解图（ii）点P与点B 重合时，5t＝10，得t＝2，当≤t≤2时，如解图②所示，设QF交AB与T，则重叠部分是矩形PEQF的面积减去△PFT的面积．∵AQ＝8－t，∴QT＝AQ=（8－t）=6-t，∴FT=PE-QT=3t-(6-t)=4t-6,EQ=AE-AQ=4t-(8-t)=t-8,∴S=PE·EQ-EQ·Ft[来源:学科网ZXXK]=3t·（t-8)-·（t-8)（4t-6）=t2+8t-24；(iii)当2t≤3,点P在BC上，且点F在△ABC外，如解图③所示，此时点E与点C重合，PC＝6－3（t－2）＝12－3t，QC＝t，QT＝(8-t)＝6－t，BP＝3（t－2），PR＝·3（t－2）＝4t－8，FR＝FP－PR＝t－（4t－8）＝8－t，FT＝FR＝6－2t．∴S＝PT×QC－F