2018年青岛中考数学压轴突破：阅读理解问题——几何问题代数化.docx

阅读理解问题——几何问题代数化1.观察下图：第1题图我们把正方形中所有x、y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4x＋y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x＋4y，遵循以上规律，解答下列问题：（1）第4个图形中的“正方形多项式”为，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为;（2）如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2．①求x和y的值；②求“正方形多项式”的值Q的最大值（或最小值），并说明是第几个图形.解：（1）25x＋16y，（n＋1）2x＋n2y；【解法提示】∵第1个图形中“正方形多项式”为4x＋y，第2个图形中“正方形多项式”为9x＋4y，第3个图形中“正方形多项式”为16x＋9y，∴第4个图形中的“正方形多项式”为25x＋16y，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n＋1）2x＋n2y.（2）①依题意,得，解得，②Q＝（n＋1）2x＋n2y＝?n2＋4n＋2＝?（n?2）2＋6，当n＝2时，Q最大值为6，∴第2个图形中，“正方形多项式”的值最大，最大值为6．2.如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）：第2题图填写如表：正方形ABCD内点的个数123[来源:Z#xx#k.Com]4…n分割成三角形的个数46________…____（2）如果原正方形被分割成2018个三角形，此时正方形ABCD内部有多少个点？（3）上述条件下，正方形又能否被分割成2019个三角形？若能，此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由．解：（1）如下表：正方形ABCD内点的个数1234…n分割成三角形的个数46810…2（n+1）（2）设点数为n，则2（n＋1）＝2018，解得n＝1008.答：原正方形被分割成2018个三角形时正方形ABCD内部有1008个点；（3）设点数为n，则2（n＋1）＝2019，解得n＝1008.5.答：原正方形不能被分割成2019个三角形.3.【问题提出】如何把n个边长为1的小正方形，剪拼成一个大正方形？探究一：若n是完全平方数，我们不用剪切小正方形，可直接将小正方形拼成一个大正方形.探究二：若n=2,5,10,13等，这些数都可以用两个正整数平方和的算术平方根来表示，如：;.解决方法：以n=5为例.计算：拼成的大正方形的面积是5，边长为；剪切：如图①，将5个小正方形按如图所示分成5部分，虚线为剪切线；第3题图拼图：以图①中的虚线为边，拼成一个边长为的大正方形，如图②.请你仿照上面的研究方式，用13个边长为1的小正方形剪拼成一个大正方形.【问题拓展】如图③，给你两个大小不相等的正方形ABCD和EFGH，设正方形ABCD的边长为a，正方形EFGH的边长为b．　　　请你仿照上面的研究方式，把它剪拼成一个大正方形．第3题图③解：【问题提出】（１）计算：拼成的大正方形的面积是13，边长为．（2）剪切如解图①：第3题解图①（3）拼图如解图②：第3题解图②【问题拓展】（１）计算：拼成的大正方形的面积是a２＋b２，边长为．（2）剪切如解图③：第3题解图③（3）拼图如解图④：第3题解图④4.【问题提出】如图①，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？第4题图【问题研究】我们先从较为简单的情形入手．[来源:学_科_网Z_X_X_K]如图②，由２×１×１个小立方块组成的长方体中，长共有１＋２＝条线段，宽和高分别只有一条线段，所以图中共有３×１×１＝３个长方体；如图③，由２×２×１个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有１＋２＝条线段，高有１条线段，所以图中共有３×３×１＝９个长方体；如图④，由２×２×２个小立方块组成的长方体中，长宽高分别有１＋２＝条线段，所以图中共有　　　个长方体；由２×３×６个小立方块组成的长方体中，长共有１＋２＝条线段，宽共有　　条线段，高共有　　　条线段，所以图中共有　　　个长方体．【问题解决】由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有条线段，所以图中共有个长方体.解：【问题探究】(3)27；(4)6，21，378；【问题解决】，　.5.在图中，每个正方形都由边长为1的小正方形组成，请完成下列各题．第5题图(1)观察图形，按要求填写下列表格；正方形边长1357白色小正方形个数[来源:Z§xx§k.Com]_______________________正方形边长2468[来源:学*科*网]白色小正方形个数________________________(2)在边长为n（其中n≥１）的正方形中，所有黑色的小正方形的面积和为S１，白色小正方形的面积为S２，试用含ｎ的代数式分别表示S１