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复变函数答案(2010.1)
浙江科技学院
2009-2010年第 1 学期考试试卷 A 卷
考试科目 复变函数与积分变换 考试方式 闭 完成时限 2小时
拟题人 审核人 批准人 2010年1月15日
学院 年级 专业
标准答案及评分标准
一.填空题（每小题3分，共15分）
1.；
2. ；
3.= ；
4. ；
5.设为复函数的可去奇点，则在该点处的留数为0 .
二.选择题（每小题3分，共15分）
A；C；A；D：B.
三.解答题(11小题8分，12-14小题各9分，共35分)
11.当分别等于多少时,函数在复平面上处处解析?
解： 1分
（8分）
12. 利用拉普拉斯变换求微分方程
满足边界条件 的解。
解：利用微分性质，设方程的解且设 (1分)
对方程的两边取拉普拉斯变换，并考虑到边界条件，则得
（4分）
整理得： （6分）
两边取拉氏逆变换得 （9分）
13. 将函数 在圆环域： 内展开为洛朗级数。.
解：在内，由于，从而， (3分)
则有
（7分）
（9分）
14. 因为3+5i= （1分）
于是
（5分）
而 （7分）
所以收敛，故原级数绝对收敛。 （9分）
四.计算（共30分）
15. 求及的所有值。
解（1）= （4分）
（2）
（7分）
16. 学习复变函数与积分变换同学做（1）小题，学习复变函数与场论同学做（2）小题：
（1）求积分
（2）求矢量场的散度与旋度。
解：（1）
（2） （3分）
17. 求积分 ，其中C为正向圆周：.
解 为一个奇点，函数在上解析 (2分)
则
(7分)
18. 计算积分的值。
解： 函数满足定理条件，因此积分是存在的。由于在上半平面内只有一级极点和， （2分）
而
（5分）
同理 （7分）
所以
（9分）
五.证明（5分）（学习复变函数与积分变换同学做（1）小题，学习复变函数与场论同学做（2）小题）
19. （1）证明为整数。
（2）
其中, .
证(1) 利用导数的像函数性质
设，则
（2分）
（3分）
即 （5分）
(2)
浙江科技学院考试试卷
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