第二章 导数与极限 4.ppt

例如, (2)若f(x0?0)?f(x0+0), 则称 x0是f(x)的跳跃间断点. 2. f(x0?0)与f(x0+0)中至少有一个不存在, 是f(x)=tanx的第二类间断点。 例如, 故 x=0是f(x)的第二类间断点(又称振荡间断点). 例8.求 解: f(x)是初等函数, 定义域是: 例9.求 解: 例10. 解: 例11. 解: 五、 闭区间上连续函数的性质 A. 最值定理与有界性定理 定理23. (最值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 证明: 因为f(x)在[a, b]上连续,根据基本原理 f(x)的值域一定是一个闭区间[m, M], B. 介值定理与零值定理 定理24. 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 且f(x)在[a, b]上的最大值为M, 最小值为m, 推论 (零值定理) 若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,  f(a)与f(b)异号, 例9. 证明: 方程sinx=x?1至少有一个实数解. 2.4 导数的计算 一、函数可导与连续的关系 B. 可导与连续的关系 如果f(x)在点x0处连续, 不能得出f(x)在点x0处可导. 例如, y=f(x)=|x|在x=0处连续, 但在x=0处不可导. 例1.设 例2. 解: 例3.已知 解: 例4.设函数 解: 取 任取 故, 二、函数的和、差、积、商的求导法则 定理25 如果函数u(x), v(x)在点x处可导, 则它们的 和、差、积、商(分母不为零)在点x处也可导, 且有： (2)的推论： [Cu(x)]?=Cu?(x). 例1. 求下列函数的导数: (2) 解: (3) 解: 三、反函数的求导法则 定理26 设y=f(x)在区间Ix内有定义, 它的反函数x=?(y) 在对应区间Iy={y|y=f(x), x?Ix}内严格单调, 并且??(y)?0, 则y=f(x)在区间Ix内也严格单调, 且有: 例2. 设x?(?1, 1), 求y=arccosx的导数. 解: 例3. 证明: (ax)?=ax lna, a?0, a?1. 解: 定理27 设函数u=g(x)在点x处可导,函数f(u)在对应点u=g(x) 证明: 设自变量x的增量为?x?0, 对应的u=g(x)和y=f(u)的增量为?u和?y 故有: 从而 例4. 求下列函数的导数： 解: (3) 解: (4) 解: 例5. 解: 复合函数求导的链锁法则的推广形式: * * 但f(x)在x=1处没有定义, 故x=1是f(x)的可去间断点, f(0?0)= ?1, f(0+0)=1, 故x=0是f(x)的跳跃间断点. f(0+0)?f(0?0)=2, 称为f(x)在x=0处的跳跃度. 补充f(x)在x=1的定义, 当定义f(1)=2时, 则 f(x)在x=1连续. 则称x0是f(x)的第二类间断点。 为f(x)的无穷间断点. 例7. 求 解: f(x)在x=0处没有定义, 故x=0是f(x)间断点, 故x=0是f(x)的第二类间断点。 故f(x)在点x?0处都连续, f(x)在点x=0处没有定义, 故x=0是f(x)唯一的间断点, 故 x=0 是f(x)的跳跃间断点. 基本原理: 闭区间上连续函数的值域一定是一个闭区间. 定义 设函数f(x)在区间I上有定义, x0?I, 如果对一切x?I, 都有: f(x)?f(x0) (或f(x)?f(x0)), 则称f(x0)为f(x)在I上的最大值(或最小值), 并称x0为f(x)在I上的最大值点(或最小值点). 则 f(x)在[a, b]上必可取到最大值和最小值. 推论 闭区间上的连续函数在该区间上必有界. 从而一定在[a, b]上存在一点?1, 使 f(?1)=M, 在[a, b]上存在一点?2, 使 f(?2)=m, 即, f(x)在[a, b]上必可取到最大值和最小值。 即, 在[a, b]上必存在最大值点和最小值点. y A B O a ?1 ? ?2 ? b x y=f(x) M m ? 证明: 根据基本原理得: 介值定理的几何解释: 则对介于m 和M的任何值?, 至少存在一点??[a, b], 使得: f(?)=?。 f(x)的值域就是区间 [m, M], 又, ??[m, M], 故在[a, b]上至少存在一点?,使得: f(?)=?。 O a ? b x y=f(x) y A B 则至少存在一点??