线性代数向量组的线性相关性定理.pptVIP

* 线性代数 第四章 向量组的线性相关性 * 线性代数 第四章 向量组的线性相关性 练习册 P37－40 第13题 至 第19题，期中交：P37－40 齐次解的基础解系概念－基础解系求法－举例－非齐次通解的求法－向量空间的封闭与生成性－基与坐标－向量内积与长度。 讲授内容主线 齐次方程组的基础解系由n-r个无关解向量组成，非齐次是齐次解加特解，向量组生成具有封闭线性运算的向量空间。向量内积实际上是矩阵运算，由施瓦茨不等式引出长度与正交。 内容概括 媒体与投影 讲授方法 方程组解的结构 难点 基础解系及其求法、向量空间的基 重点 作业 理解齐次线性方程组的基础解系的概念与求法。掌握非齐次线性方程组通解的结构。掌握向量空间的基的概念与求法 教学目的 班级： 时间： 年 月 日；星期 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 本次课讲第四章第四节第五节，方程组解的结构与向量空间， 下次课讲第五章第一二节， 下次上课时交作业P37～P40 二、齐次线性方程组解的结构： 1.复习齐次线性方程组解的秩的判定定理 2.解向量的概念 设有齐次线性方程组 （1）设 A= x = 则（1）式可写成向量方程 Ax = 0 （2） 称为方程组（1）的解向量， 它也是向量方程（2）的解. 第十讲 向量组的秩与方程组解的结构 第十讲 向量组的秩与方程组解的结构 2.解向量的性质 性质1 若 为齐次方程组的解，则 也是 相应齐次方程组的解. 证 性质2 若 为齐次方程组的解，k为实数，则 k 也是 相应齐次线性方程组的解. 证： 3.AX=0的基础解系 第十讲 向量组的秩与方程组解的结构 4.求AX=0的基础解系－－AX＝0的通解： 事实上，上一章我们已经学会了用矩阵的秩求线性方程组通解的方法：假定AX=0,A的秩为R(A)=r,求解步骤如下 化A 为行最简形矩阵为 与 A 对应的方程组的同解方程组为 令自由未知数 则： 第十讲 向量组的秩与方程组解的结构 第十讲 向量组的秩与方程组解的结构 巧得很，AX=0的通解正好是n-r个解向量的线性组合，如果这n-r个解向量就是解集的最大无关组，我们就等于找到了AX=0的基础解系。事实上，我们有如下定理： （2）定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 定理：设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵的秩R(A)=r,解集（解向量组）为S,则R(S)=n-r 证： 第一步：和以前一样，将系数矩阵化成行最简形： 第二步：仍然是写出与 A 对应的齐次线性方程组的同解方程组 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 代入同解方程组依次可得： 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 第四步：整理得出齐次线性方程组的一组解向量: 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 该定理的论证说明了两点： 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 4.齐次线性方程组的求解结论： 根据以上齐次线性方程组的通解求解过程和定理及其推论，我们可以得到如下结论： （4）由此还可以推断：齐次线性方程组的基础解系不是 唯一的.齐次线性方程组的通解形式也是不唯一的. （3）齐次线性方程组(1)的任何 n - r 个线性无关的解向量都 可作为它的基础解系. （1）当 R(A) = n 时,齐次线性方程组(1)只有零解,无基础解系; （2）当 R(A) n 时,齐次线性方程组(1)的基础解系含有n – r 个解向量 . 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 （二）非齐次线性方程组的通解 1.非齐次线性方程组的解向量的性质 设有非齐次线性方程组 （4） 它也可写作向量方程 （5） 性质3 的齐次线性方程组 的解. （6） 设 及 都是（5）的解，则 为对应 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 证 所以 满足方程（6）. 证 即 满足方程（5）. 性质4 设 是方程（5）的解， 是方程（6）的解， 仍是方程（5）的解. 则 称上式为非齐次方程组AX=b的通解 第十一讲：方程组解的解构与向量空间 第十一讲：方程组解的解构与向量空间