线性代数矩阵向量行列式线性方程组.pdfVIP

第7 章 線性代數：矩陣，向量，行 列式 ，線性方程組 7.1 矩陣，向量：加法與純量乘積 7.2 矩陣乘法 7.3 線性方程組，高斯消去法 7.4 線性獨立，矩陣的秩，向量空間 7.5 線性系統的解：存在性，唯一性 7.6 參考用：二階與三階行列式 7.7 行列式，柯拉瑪法則 7.8 反矩陣，高斯—喬丹消去法 7.9 向量空間，內積空間，線性轉換（選讀） 歐亞書局歐亞書局 第6章 拉式轉換線性代數：矩陣，向量，行列式，線性方程組 P 23 線性系統，係數矩陣，擴大矩陣 一組含n 個未知數x , …, x 的m 個方程式的線性系統，為 1 n 具有下列形式的方程組： (1) 這個系統稱為線性，其原因是每一個變數xj 僅一次方出現， 正如同直線方程式一樣。a11,…,amn 為已知數稱為此系統的係 數。 歐亞書局歐亞書局 第6章 拉式轉換線性代數：矩陣，向量，行列式，線性方程組 P.251 另外在方程式右邊的b , …, b 也為已知常數。如果所有的 1 m b 項為零，則(1) 式稱為齊次系統 （homogeneous system ）。 j 若至少有一個b 不是零，則(1) 式稱為非齊次系統 j （nonhomogeneous system ）。 (1)式的解係一組x , …, x 的數，滿足所有m 個方程式。而 1 n (1) 式的解向量 （solution vector ）為其分量所構成(1) 式之解 的向量x 。若系統(1) 為齊次，則此系統至少有平凡解 （trivial solution ）x 1 ＝0,…, xn ＝0 。 線性系統(1) 的矩陣形式 由矩陣乘法的定義，可知(1) 式 的m 個方程式可寫成如下的單一向量方程式 (2) 歐亞書局歐亞書局 第6章 拉式轉換線性代數：矩陣，向量，行列式，線性方程組 P.251 其中，係數矩陣 （coefficient matrix ）A ＝[a ] 為m ×n 矩陣 jk 而x 與b 為行向量。假定所有係數a 不全為零，如此A 不 jk 是一個零矩陣。注意x 具有n 個分量，而b 則有m 個分量。 矩陣 歐亞書局歐亞書局 第6章 拉式轉換線性代數：矩陣，向量，行列式，線性方程組 P.251 稱為系統(1) 的擴大矩陣 （augmented matrix ），其中垂直 ～ 虛線可省略（以後均如此省略），它只是提醒A 的最後一行 不屬於A 。 ～ 擴大矩陣A 完全決定系統(1) 之解，因為它包含所有出現 在(1) 中的已知數。 歐亞書局歐亞書局 第6章 拉式轉換線性代數：矩陣，向量，行列式，線性方程組 P.251 範例1 幾何意義，解的存在與唯一性 若m ＝n ＝2 ，則含兩個未知數x , x 的兩方程式為 1 2 如果x , x 表示為x x 平面座標，那麼此兩