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线性方程组与线性子空间 1．（武汉大学，2005 ）设A 是m×n 矩阵，β (b , b , ..., b )T 是m 维列向量，证明 1 2 m 下述命题相互等价 （1）线性方程组ΑΧ =β 有解； T T （2 ）齐次方程组Α Χ =0 的任一解(x , x ...x ) 必满足x b + x b + + x b 0 1 2 m 1 1 2 2 m m ⎛ AT ⎞ ⎛ 0⎞ （3 ）线性方程组 Χ 无解，其中0 是n 维列向量。 ⎜ T ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ β ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ ⎠ 证明：（1 ）⇒ （2 ）ΑΧ =β 有解，令x0 ∈p n×1 , AX 0 β ，则X 0T AT β T 。令 T T T (x , x ...x ) =Χ 是Α Χ =0 的解。则Α Χ1 =0 。于是 1 2 m 1 T T T X 0 A X 1 β X 1 0 即 x b + x b + + x b 0 1 1 2 2 m m ⎛ T ⎞ ⎧ T A ⎛ 0⎞ A X 0 ⎪ , （2 ）⇒ （3 ）线性方程组 X 可以表示成 由（2 ）可知， ⎜ T ⎟ ⎜ ⎟ ⎨ T ⎜ β ⎟ 1 β X 1 ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ T T T Α Χ =0 的任一解(x , x ...x ) 必满足β X 0 ，因此以上线性方程组无解。 1 2 m （3 ）⇒