线性方程组的迭代解法及其matlab应用.pdfVIP

科学计算选讲 线性方程组的迭代解法及其Matlab 应用 学院：材料科学与工程学院 姓名：王晓飞 学号：1012208021 线性方程组A x = b 是我们在科学和工程计算中经常出现的数学模型，对它 的解法我们最熟悉的就是主元消去法，但它只是适用于 A 是低价稠密的矩阵， 对于由工程技术中产生的大型稀疏矩阵方程组 （即A 的阶数n 很大，但零元素 较多，例如求某些偏微分方程数值解所产生的线性方程组，n ≥104 ），还需利用 迭代法求解。如在计算机内存和运算两方面，都可以根据 A 中有大量零元素的 特点采用迭代法。在此，介绍两种常见的迭代解法：Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法，并用迭代法在数学软件Matlab 上实现线性方程组的解。 1. 迭代法的基本思想 迭代法是按照某种规则构造一个向量序列{x(k) }，使其极限向量x * 是A x = b 的精确解。因此，对迭代法来说一般有下面几个问题： (i) 迭代序列如何构造。 (ii) 构造的迭代法序列是否收敛，并且在什么情况下收敛。 (iii) 如果收敛，收敛的速度如何 （应该给予量的刻划，用以比较各种迭代法 收敛的快慢）。 (iv) 由于计算总是有限次的，因此总要讨论近似解的误差估计和迭代过程的 中断处理问题，这又和舍入误差的分析有关。 一个方法是否有效要看得到具有某个精确解的近似解而付出的代价如何，通 常以运算量和存储量的要求为标志。在这个标准下，直接算法在很多情况下比迭 代法好，但是对大型的稀疏方程组来说，迭代法更适用。 考虑非奇异线性方程组：A x = b (1) 将A 分解成M – N 则 (1) 式可化为M x = N x + b (2) 所以得：x = M -1 x + M -1 b (3) 给定一个初始向量x(0) ，可得迭代格式：x(k + 1) = B x (k) x +f ,其中B 成为迭代 矩阵。若产生的迭代序列{x(k) }收敛到一个确定的向量x *，则 x * 就是原方程组 的解。 2. Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法 2.1 Jacobi 迭代法 令A = D – L – U (即 (2) 式中M = D, N = L + U) 其中D = diag (a11 , a22 , ···, ann ) 1 科学计算选讲 0 - a21 0 L = , . . . . ⁞ . . - an1 ... - an, n -1 0 0 - a12 ... - a1n . 0 . . ⁞