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徐汉忠第一版2000/7 弹性力学 第四章 Chapter 4 solution of plane problems in polar coordinates 1 第四章 平面问题极坐标解答 Polar coordinates 极坐标 The position of a point P in polar coordinates is defined by the radial coordinate r and the angular coordinate ?. 一点P的极坐标用径向坐标r和角坐标?表示 P (r, ?) displacements:位移： ur u? strains:应变: ?r ?? rr? stresses: 应力： ?r ?? ?r? body force:体力: Kr K? x r ? r ? y 4.1 Differential equations of equilibrium in polar coordinates极坐标中的平衡微分方程 P54(E) Fig. 4.1.1; P58(中)图4-1 Review: differential equations of equilibrium in rectangular coordinate直角坐标 平衡方程 ??x/?x+??yx/?y+X=0 --x方向的平衡方程，体力和应力都是x方向，故应力的第二个下标为x方向。对应力的第一个下标求导。 ??y/?y+??xy/?x+Y=0 --y方向的平衡方程，体力和应力都是y方向，故应力的第二个下标为y方向。对应力的第一个下标求导。 In the first (second) differential equation of equilibrium, the body force and stresses are in the x (y) direction, the second coordinate subscript in stresses is x (y), the differential of stresses is respect to the first subscripts. 两种坐标系中的平衡微分方程的比较 ??x/?x+??yx/?y+X=0 ??y/?y+??xy/?x+Y=0 (2.2.2) ??r/?r+???r/(r??)+(?r-??)/r+Kr=0 (4.1.1) ???/(r??)+??r?/?r+2?r?/r+K?=0 (4.1.2) (?r-??)/r---正r面面积大于负r面面积, ??与通过形心的r轴有一角度 2?r?/r---- ?r? 作用的正r面面积大于负r面面积， ??r与通过形心的? 轴有一角度 4.2 geometrical and physical equations in polar coordinates极坐标中的几何物理方程 P57(E) Fig. 4.2.1;P60(中)图4-2 Only the radial displacement takes place只有径向位移 PP?=ur AA?=ur+?ur/? rdr BB?= ur+?ur/?? d? ?r=(P?A? -PA)/PA=(AA?-PP?)/PA=[(ur+?ur/?rdr)-ur]/dr=?ur/?r ??=(P?B?-PB)/PB=[(r+ur)d?-rd?]/(rd?)=ur/r Only the radial displacement takes place只有径向位移 the angle of rotation of PA will be ?=0 the angle of rotation of PB will be ? ?=(BB?- PP?)/PB=[(ur+?ur/??d?)-ur]/rd?=?ur/(r??)