工程计算4插值和拟合.ppt

* * 4.6 离散数据的曲线拟合 作业 4.3(1)、4.5、4.6、4.7、4.11、4.15、4.17、4.19 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 有 解得 a = ?y ? ?xb * * 4.6 离散数据的曲线拟合 定义 已知m+1对离散数据{ xi，yi }0m,和权数{ wi }0m，记 在C[a，b]中选定n+1个线性无关的基函数{?k(x)}0m，由它们张成的子空间为 ? = span{?0(x)，?1(x)，…，?n(x)} * * 4.6 离散数据的曲线拟合 如果有 使得 则称?* (x)为离散数据{ xi，yi }0m在子空间?中带权 { wi }0m的最小二乘拟合。 由于?* (x)是基函数的线性组合，称为线性最小二乘问题。 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 令 问题转为求多元函数I(?0，?1，…，?n)的极小点(?0*，?1*，…，?n*)，使得 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 4.6.2 正规方程和解的存在唯一性 上式有解的必要条件是 l =0，1，2，… ，n 即 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 令m+1维向量 并令 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 即 称为正规方程(法方程)。记系数矩阵为G，n+1维向量 d=[(y,?0)，(y,?1)，…，(y,?n)]T，?= [?0,?1，…，?n]T 正规方程可写为 G? = d。 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 因此，最小二乘法存在唯一解的必要条件是正规方程的系数矩阵G非奇异。 定理4.6.1：格兰姆(Gram)矩阵非奇异的充分必要条件是向量组{?k}0n线性无关。 注意：{?k(x)}0n在C[a，b]上线性无关，不能保证向量组{?k}0n线性无关。 实际中总取nm。因此，向量组{?k}0n中的向量个数远远小于向量的维数 系数矩阵G称为格兰姆(Gram)矩阵，它是对称矩阵。 一般 {?k}0n总是线性无关，格兰姆矩阵是非奇异的。 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 设{?k}0n线性无关，它的生成空间为 V=span{?0，?1，…，?n} 函数I(?0,?1,…,?n) 用向量的2-范数(欧氏范数)表示为 I(?0，?1，…，?n) = || y?? || 22，? ? V * * 4.6 离散数据的曲线拟合 因此极值问题 使得 等价于在向量空间V中求 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 定理4.6.2 设向量组{?k}0n线性无关，(?0*，?1*,…,?n*)是正规方程的解，则 满足 并有 e2=||y??*||22为曲线拟合的平方误差。 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 定理4.6.3：对于已知的离散数据{xi，yi}0m和权数{ wi }0m，选定m+1维连续函数空间?,如果?有一组基{?k(x)}0n在点列{xi}0m处的值向量组{?k}0n线性无关，那么 存在唯一解 其中,(?0*.?1*.….?n*)是正规方程的解. 并有平方误差 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 注意： ⑴ 最小二乘问题的解与所选的基函数无关。 ⑵ 离散点列{ xi，yi }0m中，自变量序列{xi}0m不需要有序，也可以重复。 ⑶ 格兰姆(Gram)矩阵由子空间?的基函数{?k(x)}0n、自变量序列{xi}0m，以及权数{ wi }0m确定。与离散点的函数值序列{yi}0m无关。 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 4.6.3 多项式拟合和例题 在离散数据{xi，yi }0m最小二乘拟合中，最简单、常用的数学模型是多项式，即在多项式空间中作曲线拟合，称为多项式拟合。 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 取基函数?(x)=xk (k=0,1,2, …,n)，在自变量序列 的值向量为 如果nm，并且在序列 中至少有n+1个互不相等，则 线性无关，从而格兰姆矩阵G非奇异， 最小二乘拟合问题存在唯一解。有 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 正规方程为 正规方程解为 ?*=(?0*.?1*.….?n*) * * 4.6 离散数据的曲线拟合 最小二乘问题为 最小二乘问题解为 平方误差为 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 * * 4.6 离散数据的曲线拟合 * * 4.6 离散数据的