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2010备考题萃（导数） 1．已知函数. （Ⅰ）若为的极值点，求的值； （Ⅱ）若的图象在点（）处的切线方程为， （ i ）求在区间上的最大值； （ii ）求函数（）的单调区间． 解：（Ⅰ）∵ ∵ x=1为的极值点，∴，即， ∴ （Ⅱ）∵（）是切点，∴ ∴ 即 ∵切线方程的斜率为 -1， ∴，即， ∴a=1，b= ∴∴， （i）由∴x=0和x=2是的两个极值点.求极值 ∵ ∴在区间上的最大值为8． （ii）∵函数 令，得 当时，此时在单调递减. 当时： （开口向下） 此时在，单调递减，在单调递增. 当时： 此时在，单调递减，在单调递增； 综上所述：当时：在单调递减； 当时：在，单调递减，在单调递增； 当时：在，单调递减，在单调递增. 2、已知函数，其中． （Ⅰ）求函数的零点； （Ⅱ）讨论在区间上的单调性； （Ⅲ）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）解，得， 所以函数的零点为.…………………2分 （Ⅱ）函数在区域上有意义， ，…………………5分 令，得，， 因为，所以，.…………………7分 当在定义域上变化时，的变化情况如下： ↗ ↘ 所以在区间上是增函数，………8分 在区间上是减函数. …………………9分 （Ⅲ）在区间上存在最小值. …………………10分 证明：由（Ⅰ）知是函数的零点， 因为， 所以，…………………11分 由知，当时，，…………………12分 又函数在上是减函数，且， 所以函数在区间上的最小值为，且，………………13分 所以函数在区间上的最小值为， 计算得.…………………14分 3、已知，， （Ⅰ）对一切恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）当求函数()上的最小值. 解：（Ⅰ）对一切恒成立，即恒成立. 也就是在恒成立. 令 ，则， 在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以. （Ⅱ）当 ， ，由得. ①当时，在上，在上 因此，在处取得极小值，也是最小值， ②当，，因此上单调递增， 所以. 4、已知函数. （Ⅰ）求函数在处的切线方程； （Ⅱ）若函数在上单调减，且在上单调增，求实数的取值范围； （Ⅲ）当时，若，函数的切线中总存在一条切线与函数在处的切线垂直，求的最小值. 解：（I）由已知，，所以， 所以函数在处的切线方程为 （II）解1:①当时，，满足在上，且在上，所以当时满足题意； ②当时，是恒过点，开口向下且对称轴的抛物线，由二次函数图象分析可得在上，且在上的充要条件是 解得，即 综上讨论可得 解2：由已知可得在上，且在上， 即在上成立且在成立； 因为在上，在上 所以 （III）当时， 由题意可得，总存在使得成立，即 成立，因为，当时， ，所以，解得 所以的最小值为 5、知函数 （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围. 解：（Ⅰ） 令 当是增函数 当是减函数 ∴ （Ⅱ）（i）当时，，由（Ⅰ）知上是增函数，在上是减函数. 又当时， 所以，的图象在上有公共点，等价于 解得. （ii）当时，上是增函数， ∴, 所以原问题等价于 又∴无解综上： 6、图，矩形ABCD内接于由函数图象围成的封闭图形，其中顶点C，D在上，求矩形ABCD面积的最大值. 解：由图，设A点坐标为,,则，由图可得，记矩形ABCD的面积为S，易得 令，得 所以，令，得， 因为，所以. 随t的变化情况如下表： t + 0 - 极大值 由上表可知，当，即时， S取得最大值为，所以矩形ABCD面积的最大值为. 7、已知函数，． （Ⅰ）求函数的导函数； （Ⅱ）当时，若函数是上的增函数，求的最小值； （Ⅲ）当，时，函数在上存在单调递增区间，求的取值范围． （Ⅰ）解：． …………………………………3分 （Ⅱ）因为函数是上的增函数，所以在上恒成立. 则有，即． 设（为参数，）， 则. 当，且时，取得最小值． （可用圆面的几何意义解得的最小值） ………………………8分 （Ⅲ）①当时，是开口向上的抛物线，显然在上存在子区间使得，所以的取值范围是． ②当时，显然成立． ③当时，是开口向下的抛物线，要使在上存在子区间使，应满足 或 解得，或，所以的取值范围是． 则的取值范围是． …………………………………………13分 5 2010导数备考题萃 y x O 1 C D B A