对数指数函数总结,提分必备.docVIP

知识点梳理 1、指数函数的一般形式与性质 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且． 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示． 当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并写成（）．例如负的次方根可以表示为． 负数没有偶次方根． 0的任何次方根都是0，记作． 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是． 整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用． （1）； （2）； （3） 2、指数函数的图像 2．指数函数的图象 在同一坐标系中画出下列函数的图象（可用描点法，也可借助科学计算器或计算机）． （1） （2） （3） （4） （5） 3、指数函数的性质 一般地，指数函数的图象和性质如下表所示． 图 象 定义域 值域 性 质 （1）过定点，即时，． （2）在上是增函数 （2）在上是减函数 4、对数函数定义：函数 叫做对数函数；它是指数函数 的反函数。 5、对数函数图象和性质： a a1 0a1 图象 定义域 值 域 R R 定 点 （1，0） （1，0） 单调性 在上递增 在上递减 6、对数函数单元主要题型方法：①对数函数的概念（定义域，值域）；②对数函数的图象与性质（定点，函数值大小）；③对数函数图象变换（作图像）；④对数函数性质的应用（单调性、对数不等式和方程等）。 二、例题讲解 例1 1）= （2）= （3）= （4） = （5）= （6）= （7） = （8）= （9）= 例3、比较下列各题中两个值的大小： ①，； ②，； ③， 解：利用函数单调性 与的底数是1.7，它们可以看成函数 y=，当x=2.5和3时的函数值；因为1.71，所以函数y=在R是增函数，而2.53，所以，； 与的底数是0.8，它们可以看成函数 y=，当x=-0.1和-0.2时的函数值；因为00.81，所以函数y=在R是减函数，而-0.1-0.2，所以，； 1；1； 小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较. 例4、（1）已知，试比较的大小； （2）已知，求实数的取值范围． 解 （１）考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是减函数． ∵， ∴． （2）考察指数函数，由于底数，所以指数函数在上是减函数． ∵，，， ∴， ∴，即的取值范围是． 例5、函数在区间上有最大值14，则a的值是_______． 　　分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围． 　　解：令，则，函数可化为，其对称轴为． 　　∴当时，∵， 　　∴，即． 　　∴当时，． 　　解得或（舍去）； 　　当时，∵， 　　∴，即， 　　∴ 时，， 　　解得或（舍去），∴a的值是3或． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 6、求下列函数的值域： (1) (2) 解(1)∵ ∴ 即函数值域为 (2)函数有意义，必须： 由 ∴在此区间内 ∴ 从而 即：值域为 7、已知函数，(1)若的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若的值域为R，求实数a的取值范围。 解：设， 若的定义域为R，则的解集为R，即解得． 若的值域为R，则的值域应该包含，即，故解得或．由此可知，的定义域问题是的解集问题，而的值域问题是的值域问题． 三、当堂练习 1、已知集合M=｛x|x＜3｝N=｛x|｝则M∩N为 A. B.｛x|0＜x＜3｝ C.｛x|1＜x＜3｝ D.｛x|2＜x＜3｝ 2、若函数f(x)=a(x-2)+3（a＞0且a≠1），则f(x)一定过点 A.无法确定 B.(0，3) C. (1，3) D. (2，4) 3、若a=，b=，c=，则 A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.c＞a＞b D.b＞c＞a 4、若函数y= (a＞0且a≠1)的图象过(-1，0)和(0，1)两点，则a，b分别为 A.a=2，b=2 B.a=，b=2 C.a=2，b=1 D.a=，b