江苏省高考数学基本不等式及其应用推荐.docVIP

2.(2010·山东卷)若对任意x0， ≤a恒成立，则a的取值范围是 　. 解析：因为x0，所以 x+ ≥2(当且仅当x=1时取等号)， 所以有 ， 即 的最大值为 ，故a≥ . 例1：(1)已知x＜ ，求函数y=4x-2+ 的最大值； (2)已知x＞0，y＞0，且 + =1，求x+y的最小值； (3)求y= 的最小值． 分析：创造应用基本不等式的条件，合理拆添项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的前提在于使等号成立的条件；求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中要密切注意字母隐含的取值范围；函数y=bx+ (a0，b0，为常数)的单调性与极值(或值域)要了解，并能在解题时灵活运用，特别是当问题不能满足均值不等式的条件之一“取等”时． 解析：(1)因为x＜ ，所以5-4x＞0， 所以 当且仅当5-4x= ， 即x=1时，上式等号成立， 故当x=1时，ymax=1. (2)因为x＞0，y＞0， + =1， 所以x+y=(x+y)( + )= + +10≥6+10=16. 当且仅当 = 时， 上式等号成立，又 + =1， 所以x=4，y=12时，(x+y)min=16. (3) = ． 此时，不能使用基本不等式，等号取不到．利用“对勾”函数的单调性解决， 即当x=0时，得其最小值为 . 【点评】(1)用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项和或积，然后这两项的积或和或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值； (2)在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值； (3)不管哪种题，哪种方法，求最值时要验证等号是否成立． 变式1.(1)若-4＜x＜1，则 的最大值为__________； (2)若a，b，c0，且a2+ab+ac+bc=4，则2a+b+c的最小值为__________． (3)已知0x≤ ，则f(x)=sinx+ 的最小值为__________． 解析：(1) = · = [(x-1)+ ] = - [-(x-1)+ ]． 因为-4＜x＜1，所以-(x-1)＞0， ＞0. 从而[-(x-1)+ ]≥2， 所以- [-(x-1)+ ]≤-1， 当且仅当-(x-1)= ， 即x=2(舍)或x=0时取等号． 即( )max=-1. (2)由a2+ab+ac+bc=4，分解因式得(a+b)(a+c)=4， 所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)≥2 =2 =4. (3)因为0x≤ ，则0sinx≤1， 则f(x)= sinx + 在定义域上为减函数， 所以[f(x)]min=f( )=3. 例2：若x、y、z∈(0,1)， 求证： + + ≥3. 分析：注意到三个分数的分母之和为定值3，故证明时可在不等式两边同时加3使用基本不等式，也可以通过换元法给出问题的另证． 证明：证法1： + + ≥2+2+2-3=3，得证． 证法2：令a=1-x+y＞0，b=1-y+z＞0，c=1-z+x＞0，则证明原不等式等价于证明 + + ≥3， 其中a、b、c＞0，且a+b+c=3. 因为 (a+b+c)( + + ) =3+(