江苏省高考数学数形结合的思想方法推荐.docVIP

1 1 数形结合的思想方法 数形结合的思想方法 2 著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”．事实上，数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象，是数学大厦深处的两块基石．数形结合就是通过这两者之间的对应和转化来解决问题的．“数”与“形”在一定的条件下可以相互转化．在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一一对应关系，进而使函数的解析式与函数的图象，方程与曲线建立了一一对应关系；在三维空间，空间向量的引入又为用代数方法研究空间点线面关系提供了可能．这种用代数方法研究图形性质，借助图形性质研究数量关系的思想方法就是数形结合思想． 3 数形结合是一种重要的数学思想方法，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的直观性来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的，如应用函数的图象来直观说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数为手段，形为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；三是正确确定参数的取值范围． 4 - 1．构造途径 (1)利用“两点间的距离 5 - 6 点评：本题如果直接对原式进行变形，是有一定运算量的，效率也不高，但将式子转化为这种点与点距离公式之后，它的几何意义就凸现出来了，利用数形结合的方法，把代数问题转化为几何问题． 7 (2)利用“直线的斜率” 例2 实系数方程f(x)=x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，求 的取值范围． 解析： 由根的分布，可写出a、b所满足的条件，并作出示意图；另外，由 的形式，可联想斜率公式，利用解析几何的办法加以求解 8 解析：因方程x2+ax+2b=0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，故函数f(x)=x2+ax+2b的图象与x轴的交点的横坐标分别在区间(0,1)及(1,2)内，于是 . ，即 点(a，b)所表示的平面区域为如图的△ABC的内部，其中，A(－3,1)为直线a+2b+1=0与直线a+b+2=0的交点，B(－2,0)为直线a+b+2=0与直线b=0的交点， C(－1,0)为直线a+2b+1=0与直线b=0的交点． 9 由于 表示连结点(a，b)和点D(1,2)的斜 率，由图易知， 点评：对于方程根的分布问题，常利用数形结合法，从对称轴的方程、最值、开口方向、特殊点的函数值等方面进行考虑；对于求比例形式的问题，常常可联想直线的斜率利用数形结合的方法进行求解． 10 (3)利用“点到直线的距离” 解析：将函数表达式变形得 的几何意义表示半圆 x2+y2=1（0≤y≤1）上的点P到直线x － y+2=0的距离． 从而由图易得 的最小值为 － 1从而所求函数的最小值为 2－ . 11 (4)利用“函数图象” 12 因为g(x)为偶函数且g(3)=0，故g(－3)=0， 从而F(－3)=F(3)=0. 作出满足条件F(x)的示意图如图所示， 由图易知，F(x)＜0的解集为 (－∞，－3)∪(0,3)． 点评：为什么奇函数的图象在原点两侧的单调性相同，这就是我们成竹在胸，“胸”中有图：对奇函数的图象特征烂熟于心；为什么在图中标了三个特殊点：两个非F(x)图象中的点，一个F(x)图象中的点即原点：这就是我们对奇函数性质了如指掌： 13 奇函数若在原点处有定义，则奇函数的图象一定过原点．当我们作出了满足全部条件的函数F(x)的图象后，不等式F(x)＜0的解集已经跃然图上了．这就是图形的直观作用！借助于图形，省却了繁琐的推理与计算，取而代之的是一幅赏心悦目的优美图案与简洁明快的解答！ 14 (5)利用“单位圆” 证明：在平面直角坐标系中，点A(cos ，sin )与点B(cos ，sin )是直线l：ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点，如图 15 又因单位圆的圆心到直线l的距离 由平面几何知识知， 所以 ， 命题得证. 16 (6)利用“正余弦定理”构图 17 点评：本题中，根据数形结合思