江苏省高考数学曲线与方程推荐.docVIP

1.(2010·福建卷)已知抛物线C：y2=2px(p0)过点A(1，-2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于 ？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由． 解析：(1)将点(1，-2)代入方程y2=2px，得p=2， 故所求抛物线的方程为y2=4x，其准线方程为x=-1. (2)假设存在符合题意的直线L，因直线OA的斜率为-2， 故L的方程可设为y=-2x+t(t≠0)． 将y=-2x+t代入y2=4x并消去x，得y2+2y-2t=0. 因直线L与抛物线C有公共点， 故△=4+8t ≥0，解得t ≥- 另一方面，直线L与OA的距离为 , 故 ,解得t=1或t=-1. 因为仅有t=1满足t≥- 且t≠0， 故满足题意的直线L存在，且直线L的方程为y=-2x+1. 2.(2009·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上． (1)求抛物线C的标准方程； (2)求过点F，且与直线OA 垂直的直线的方程； (3)设过点M(m,0)(m0)的 直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式． 解析：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px.因为点A(2,2)在抛物线C上，所以p=1.因此，抛物线C的标准方程为y2=2x. (2)由(1)可得焦点F的坐标是( ，0)，又直线OA的斜率为1，故与直线OA垂直的直线的斜率为-1.因此，所求直线的方程为x+ y - = 0. 解法2： 分析：本题第(1)问利用几何图形的性质提炼出等量关系，利用椭圆的定义求轨迹方程；第(2)问判断直线与椭圆的位置关系，可联立方程求曲线的交点，也可利用几何方法来判断． 例2：(2010·江苏南京市二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1,0)． (1)求抛物线C的标准方程； (2)设M，N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为-4，直线MO，NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点． 分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其性质，考查计算能力与运用所学知识分析问题与解决问题的能力．对于(2)，可直接假设动点M与N的坐标，并由此求出A与B的坐标，证明直线AB恒过定点，见解法1；也可取特殊的点M与N，先求出定点坐标，然后证明所有其它的满足条件的直线均过此点，见解法2. 解析：(1) 依题意，可设抛物线的标准方程为 y2=2px(p0)．由 =1 ，得 p=2， 所以抛物线C的标准方程为 y2=4x. (2)解法1：抛物线C的准线方程为x=-1， 设M(-1，y1)，N(-1，y2)，其中y1y2=-4. 于是直线MO的方程为：y=-y1x. 将y=-y1x与y2=4x联立，可解得A( ， )． 同理得B( ， )． 于是直线AB的方程为 = + 整理，得(y1+y2)y-4x+4=0.由 ，解得 故动直线AB恒过一个定点(1,0) 解法2：抛物线C的准线方程为x=-1，设M(-1，y1)，N(-1，y2)，其中y1y2=-4. 取y1=2，则y2=-2，可得M(-1,2)，N(-1，-2)． 此时直线OM的直线方程为y=-2x.联立y=-2x与y2=4x，解得A(1，-2)． 同理B(1,2)．直线AB的方程为l1：x=1. 再取y1=1，则y2=-4，同理可得A(4，-4)，B( ，1)， 此时AB的方程为l2：4x+3y-4=0. 直线l1与l2相交于点(1,0)． 下面验证对任意的y1，y2，当y1y2=-4时，动直线AB恒过定点(1,0)． 直线MO的方程为：y=-y1x. 将y=-y1x与y2=4x联立，可解得A( ，- )． 同理得B( ，- )． 于是直线AB的方程为 = = . 整理，得(y1+y2)y-4x+4=0. 点(1,0)的坐标始终适合方程(y1+y2)y-4x+4=0， 故动直线AB恒过定点(1,0)． 变式2(2010·江苏泰州中学高模)过直线y=-1上的动点A(a，-1)作抛物线y=x2的两切线AP，