线性代数矩阵的秩推荐.pptVIP

第7节 向量组的线性相关性 线性相关与线性无关 线性相关与线性无关 等价向量组 定义3 设有两个向量组 (I) (II) 如果(I)中每一个向量都可由向量组(II)线性表示，则称(I)可由 (II)线性表示；如果向量(I)与向量组(II)可以相互线性表示，则称 向量组(I)与向量组(II)等价. 例11. (I) a１=(1, 0) , a 2=(0, 1) (II) b１=(1, １) , b 2=(１, -1), b 3=(１, 5)两组等价. 因为, b１=a１＋a２ 所以(I)和(II)可以相互线性表示， , b 2=a１－a２ , b 3=a１＋５a２, 即向量组(I)与向量组(II)等价. 下页 7.2 向量组的极大线性无关组 等价向量组的性质 （1）自反性：向量组与其自身等价； （2）对称性：若向量组(I)等价于(II)，则向量组(II)等价于(I)； （3）传递性：若向量组(I)等价于(II) ，向量组(II)等价于(III)， 则向量组(I)等价于(III). 引例. 向量组a１=(1,1,1), a2=(0,2,5), a3=(1,3,6), 等价于其部分向 量组a１ a2 . 事实上，a１，a２，a3中的每一个向量可由a１，a２线性表示,即 而 a１，a２中的每一个向量可由a１，a２，a3线性表示，即 下页 向量组的极大线性无关组 例12．在向量组a1=(0, 1)，a2=(1, 0)，a3=(1, 1)，a4=(0, 2)中， 向量组a1=(0, 1)， a2=(1, 0)线性无关，且有 同样a2，a4也是一个极大无关组. 所以a1，a2是向量组a1，a2，a3，a4的一个极大无关组. a4=(0, 2)=2(0, 1)=2a1+0a2， a3=(1, 1)=(0, 1)+(1, 0)=a1+a2， 定义4 如果向量组a1，a2 ,… ,am的一个部分向量组 aj1，aj2 ,… ,ajr(r≤m)满足： (1) aj1，aj2 ,… ,ajr线性无关； (2)向量组a1，a2 ,… ,am中的任一向量可由aj1，aj2 ,… ,ajr线性表示， 则称aj1，aj2 ,… ,ajr为向量组a1，a2，… ,am的一个极大线性无关组. 下页 定义4 如果向量组a1，a2 ,… ,am的一个部分向量组 aj1，aj2 ,… ,ajr(r≤m)满足： (1) aj1，aj2 ,… ,ajr线性无关； (2)向量组a1，a2 ,… ,am中的任一向量可由aj1，aj2 ,… ,ajr线性表示， 则称aj1，aj2 ,… ,ajr为向量组a1，a2，… ,am的一个极大线性无关组. 下页 例13．全体n维行向量构成的向量组记作Rn ，则n维单位向量组ε1=(1, 0, ???, 0)T，ε2=(0, 1, ???, 0)T，??? ，εn =(0, 0, ???, 1)T是它的一个极大无关组。 定义4 如果向量组a1，a2 ,… ,am的一个部分向量组 aj1，aj2 ,… ,ajr(r≤m)满足： (1) aj1，aj2 ,… ,ajr线性无关； (2)向量组a1，a2 ,… ,am中的任一向量可由aj1，aj2 ,… ,ajr线性表示， 则称aj1，aj2 ,… ,ajr为向量组a1，a2，… ,am的一个极大线性无关组. 下页 注：1) 一个向量组的极大无关组不一定唯一；(见例12) 2) 一个向量组与它的极大无关组等价； 向量组的所有的极大线性无关组等价 3) 一个线性无关向量组的极大无关组就是向量组本身. 线性表示， 则r≤s. 定理6 设向量组 线性无关，并且可由向量组 推论3 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. 下页 向量组的秩 推论1 设向量组 可由向量组 线性表示， 且rs, 则 线性相关. 推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关. 一个向量组的所有极大线性无关组所含向量的个数相等. 问题: 一个向量组不同的极大无关组所含向量个数是否相等． 下页 向量组的秩 定义5 向量组a1，a2，??? ，am的极大无关组所含向量的个数 称为向量组的秩. 记作r(a1，a2，??? ，am).