线性代数逆矩阵推荐.pptVIP

第3节 逆矩阵(inverse matrix) 3.1 逆矩阵的概念 3.2 方阵可逆的充分必要条件 可逆矩阵的性质 5.1 初等变换 5.3 求逆矩阵的初等变换方法 =E(3(4)) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E= 0 0 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 4 r3 ———? =E(3(4)) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E= 0 0 4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 4 c3 ———? 下页 定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 5.2 初等矩阵 例如，下面是几个4阶初等矩阵： =Er(2,4(k)) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E = 0 1 0 k 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 r2+kr4 ———? =Ec(2,4(k)) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 E= 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 k c2+kc4 ———? 下页 定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为 初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) . 5.2 初等矩阵 例如，下面是几个4阶初等矩阵： 初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵. 初等矩阵的可逆性 E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)) . E(i(k))-1=E(i(k -1))； E(i, j)-1=E(i, j)； 这是因为，初等矩阵的行列式要么为1,要么为-1,要么为k(k≠0) . 其逆阵分别为: 下页 定理1 设A是一个m?n矩阵，对A施行一次初等行变换相当于 在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换 相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵. E(1, 2)A= = 与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同. AE(1, 2)= = 例如，设 下页 * * 3.1 逆矩阵的概念 3.2 方阵可逆的充分必要条件 3.3 逆矩阵的应用 下页 解方程组 解：将其写成矩阵方程 两边都左乘矩阵F得 从而得方程组的解: 下页 那么,F 矩阵是怎么得到的呢？ 第3节 逆矩阵 逆矩阵概念的引入 定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 AB?BA?E， 那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵. 可逆矩阵的定义 这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E， AB1=B1A=E 于是 B =B1 . =EB1 =( BA)B1 =B(AB1) =BE 定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 逆矩阵的唯一性 下页 记为A?1 . 由于A，B位置对称，故A，B互逆，即B?A?1 A?B?1 A11 A21 ??? An1 A12 A22 ??? An2 A1n A2n ??? Ann ??? ??? ??? ??? 定义2 由矩阵 称为矩阵A的伴随矩阵，记为A* .即 a11 a12 ??? a1n a21 a22 ??? a2n an1 an2 ??? ann ??? ??? ??? ??? A = 的代数余子式构成的矩阵 A11 A21 ??? An1 A12 A22 ??? An2 A1n A2n ??? Ann ??? ??? ??? ??? A* = 下页 例1. 求 的伴随矩阵A*. 解: 同理 A13=1， A21=-2， A22=1， A23=-1， A31=-1， A32=2， A33=1 因此A的伴随矩阵 A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 三阶矩阵A的伴随矩阵A*为 ， 下页 定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|?0，而且 其中A*为方阵A的伴随矩阵. 所以|A|?0. 设A可逆， 故|A|·|A?1|?|E|?1， 使AA?1?E , 即有A?1， 证： 必要性. = — A*， 1 |A| A-1 定义3 对于n阶矩阵A，若行列式|A|=0，则称A是奇异的