G10_4三重积分.pptVIP

例2: 计算 解法二;采用先对 解法三;采用先对 例3: 求由圆柱面 解: * 第四节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三重积分的概念和计算方法 一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ? 引例: 设在空间有限闭区域 ? 内分布着某种不均匀的 物质, 求分布在 ? 内的物质的 可得 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义. 设 存在, 称为体积元素, 若对 ? 作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在?上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 下列“乘 积和式” 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义可知,引例中物体的质量为: 特别若在 那么三重积分在数值上 就等于区域 的体积即: 先单后重 二、在直角坐标系中的计算法 ——也称为先一后二，切条法（ 先z次y后x ） 注意 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。 化三次积分的步骤 ⑴ 投影，得平面区域 ⑵穿越法定限，穿入点—下限，穿出点—上限 对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法 其中? 为三个坐标 例1. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 及抛物面 所围成的区域. 解法一:采用先对 积分,将 = 积分,将 计算 及抛物面 所围成的区域. 积分,将 计算 及抛物面 所围成的区域. 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)被积函数表达式中含有 等因子。 积分区域的投影是圆域或者部分圆域 其中?为由 例1. 计算三重积分 所围 解: 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四围成的物体的质量. 物体的密度为 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 计算 所围成. 其中 ? 由 * * * * *