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用方程思想解题 湖北省钟祥市石牌二中 钱必胜 学习了方程(组)，要善于运用方程(组)的思想解决有关的数学问题．其关键是要分析问题中的数量关系，灵活地找到相等关系，让未知和已知联系起来，列出相应的方程，通过解方程达到解决问题的目的． 一、根据图形特点构造方程组 例1 如图1，正方形边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成图形(阴影部分)的面积． 分析 本题用割补化归，分解组合，等积变形等方法均可求解，但用方程思想解题更新颖．由图形对称性可知，每片叶形面积相等，每个空白面积也相等．设每片叶形面积为x，每个空白面积为y，则有 二、根据方程的概念构造方程 分析 这是一个无穷分式，若靠常规方法是难以解决的．如果设 三、根据方程特点求解 分析 此方程若按常规解需二次平方，变为一个复杂的高次方程难以解出．若利用平方差公式巧构一个新方程，辅助求解便可化难为易． 将方程①与方程②相乘，便可求出y=9，将y＝9代入方程②与方程①， 因此x1＝-4，x2=3． 经检验x1＝-4，x2＝3都是原方程的解． y=25， 从而解得 x1=-4，x2＝3． 四、根据等式中的对应关系构造方程 例4 分解因式2x2-3xy-2y2-3x-4y-2． 分析 此式是一个二次多项式，若能分解则一定是两个一次因式积的形式，而多项式中的二次项可分解为(2x+y)(x-2y)的形式．所以可以设想此式最终形式为(2x+y+a)(x-2y+b)，然后将设想结果展开与原多项式各项系数的对应关系列方程，即可求出常数a、b． 设2x2-3xy-2y2-3x-4y-2＝(2x+y+a)(x-2y+b)，展开等式的右边有 2x2-3xy-2y2-3x-4y=2x2-3xy-2y2+(2b+a)x+(b-2a)y+ab， 因此 a+2b＝-3，b-2a＝-4，ab＝-2， 解得 a=1，b＝-2． 所以原多项式可分解为 (2x+y+1)(x-2y-2)． 五、根据定理构造方程 例5 如图2，三条弦PP1、 RR1、 QQ1两两相交，交点分别为 A、B、C，若 AP=BQ=CR，AR1＝BP1=CQ1，求证△ABC为等边三角形． 分析 由题设和根据相交弦定理可列出很多等式，故此题可考虑用字母表示线段列方程，通过解方程求出三角形三边的线段．不妨设BC=x，AC＝y，AB＝z且AP=BQ=CR=m，AR1=BP1=CQ1=n，则 从而有(x+y+z)(m-n)=0即m＝n，代入①，得 x=y，代入②，得 y=z，所以 x=y=z，故△ABC为等边三角形．