导数的综合应用4.pptVIP

导数综合应用(四) （1）求函数 的单调区间； （2）若当 时，不等式 恒成立，求实数m的取值范围； （3）若关于x的方程 在区间 上恰好有两个相异实根，求实数a的取值范围. 问题2 则 的递增区间是： 和 减区间是： 和 . （3）方程可化为 3.已知函数f (x)=ax3+bx2－3x,其在横坐标为±1的两点处的切线均与x轴平行， （1）求函数f (x)的解析式； （2）对于区间［－1，1］上任意两个自变量的值x1,x2，都|f(x1)－f(x2)|≤k，试求k的最小值（3）若过点A（1，m）（m≠－2）可且作曲线y=f (x)一条切线，求实数m的取值范围. ［解析］ （1）f′(x)=3ax2+2bx－3， 依题意，f′(1)=f′(－1)=0 即 ，解得a=1,b=0. ∴f (x)=x3－3x. （2）∵f(x)=x3－3x, ∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1) 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0， 故f(x)在区间［－1,1］上为减函数， f(x) max=f(－1)=2, f(x) min=f(1)=－2 ∵对于区间［－1，1］上任意两个自变量的值x1,x2 都有|f(x1)－f(x2)|≤|f(x) max－f(x) min|, |f(x1)－f(x2)|≤|f(x) max－f(x) min|≤2－(－2)=4.即|f(x1)－f(x2)|max=4. ∴k≥4 ∴k的最小值为4 （3）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1) ∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上. 设切点为M（x0,y0）， 则点M的坐标满足y0= －3x0 因f′(x0)=3( －1)， 故切线的斜率为k=3( －1)=kAM= 整理得2 －3 +m+3=0 （注：也可以先写出切线方程，然后将点A的坐标代入 得到左式） ∵过点A（1，m）仅可作曲线的一条切线， ∴关于x0方程2 －3 +m+3=0有且仅有一个实根， 设g(x0)=2 －3 +m+3， 则g′(x0)=6 －6x0， 从g′(x0)＞0得x0＞1或x0＜0, 从g′(x0)＜0得0＜x0＜1 ∴函数g(x0)=2 －3 +m+3在区间(－∞，0)和(1，+∞) 为增函数，在(0，1)上为减函数， g(x0)的极大、极小值点分别为x0=0,x0=1 ∴不是单调函数，关于x0方程2 －3 +m+3=0有且仅 有一个实 根的充要条件是： g(x)极大=g(0)=m+3＜0, ∴m＜－3或g(x)极小=g(1)=2+m＞0,∴m＞－2 故所求的实数a的取值范围是{m|m＜－3或m＞－2} 4.(江门）设三次函数h(x)=px3+qx2+rx+s满足下列条件:h(1)=1,h(－1)= －1,在区间（－1，1）上分别取得极大值1和极小值－1，对应的极点分别为α，β. (1)证明：α+β=0； (2)求h（x）的表达 (3)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在（－1，1）上满足 －1＜f(x)＜1.证明当|x|＞1时，有|f(x)|＜|h(x)|. ［解析］ （1）证明：由h(1)=1,h(－1)=－1得q+s=0,r+p=1 h(x)=px3－sx2+(1－p)x+s h′(x)=3px2－2sx+1－p 因为（－1，1）内有两极值且h(1)=1,所以有p＞0 h(α)+h(β)=p(α3+β3)－s(α2+β2)+(1－p)(α+β)+2s=0 (*) 又由韦达定理得α+β= ，即s= p(α+β)代入(*)中得 (α+β)[－