第十章数学分析.pptVIP

第十章 定积分的应用 授课目的：1、掌握平面图型面积的计算 2、熟练由平行截面面积求体积 3、学会平面曲线的弧长与曲率的计算 4、旋转曲面的面积要熟练计算 授课内容：1、平面图形的面积 2、由平行截面面积求体积 3、平面曲线的弧长与曲率 平面曲线的弧长 曲率 4、旋转曲面的面积 微元法 旋转曲面的面积 §1 平面图形的面积 一般地，由上、下两条连续曲线 与 以及两条直线 与 所围的平面图形，它的面积计算公式为 §1 平面图形的面积 设曲线C由参数方程 (2) 给出，在 上 连续， 连续可微且 （对于 连续可微且 的情形可类似地讨论）。记 或 ）,则由曲线C及直线 和 轴所围的图形，其面积计算公式为 §1 平面图形的面积 设曲线C由极坐标方程 给出，其中 在 上连续， 由曲线C与两条射线 所围成的平面图形，通常也称为扇形。此扇形的面积计算公式为 (5) §2 由平行截面面积求体积 设 为三维空间中的一立体，它夹在垂直于 轴的两平面 与 之间 。为方便起见称 为位于 上的立体。若任意一点 处作垂直于 轴的平面，它截得 的截面面积显然是 的函数，记 ，并称之为 的截面面积函数。本节将导出由截面面积函数求立体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式。 §2 由平行截面面积求体积 一般计算公式 §2 由平行截面面积求体积 设 为位于同区间 上的两个立体，其体积分别为 。若在 上它们的截面面积函数 与 皆连续，且 ，则由公式（1）推知 。这个关于截面面积相等则体积也相等的原理，早已为我国齐梁时代的数学家祖暅（祖冲之之子，生卒年代约在公元5世纪末至6世纪初）在计算球的体积时所发现。在《九章算术》一书所记载的祖暅原理是：“失叠 成立积，缘幂势既同则积不容异”，其中幂就是截面面积，势就是高。这就是说，等高处截面面积既然相等，则两立体的体积不可能不等。17世纪意大利数学家卡伐列利(Cavalieri)也提出了类似的原理，但要比祖暅晚一千一百多年。 §2 由平行截面面积求体积 下面讨论旋转体的体积。 设 是 上的连续函数， 是由平面图形 绕 轴旋转一周所得的旋转体。那么易知截面面积函数为 由公式（1），得到旋转体 的体积公式为 §3 平面曲线的弧长与曲率 一 平面曲线的弧长 先建立曲线 。如图10-14所示，在C上从A到B依次取分点： 它们组成对曲线的一个分割，记为 。然后用线段联结 中每相邻两点，得到C的 条弦 ，这 条弦又成C的一条内接折线。记 分别表示最长弦的长度和折线的总长度。 §3 平面曲线的弧长与曲率 定义1 对于曲线C的无论怎样的分割 ，如果存在有限极限 则称曲线C是可求长的，并把极限 定义作为曲线C的弧长。 §3 平面曲线的弧长与曲率 定义2 设平面曲线C由参数方程