高2013级高三数学不等式选讲专题.docVIP

不等式选讲 【2013年高考会这样考】 1．考查含绝对值不等式的解法． 2．考查有关不等式的证明． 3．利用不等式的性质求最值． 【复习指导】 本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|＞a(a＞0)f(x)＞a或f(x)＜－a； (2)|f(x)|＜a(a＞0)－a＜f(x)＜a； (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．含有绝对值的不等式的性质 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 3．基本不等式 定理1：设a，bR，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a、b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理3：如果a、b、c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立 4．柯西不等式 （1）为实数，则，当且仅当时等号成立。 （2）为实数，则当且仅当或存在一个数，使得时，等号成立。 （3）为平面上的两个向量，则，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立。 5．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等． 双基自测 1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________2．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________3．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为______5．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是_______考向一　含绝对值不等式的解法 【例1】设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值． 【训练1】 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围． 考向二　不等式的证明 【例2】证明下列不等式： (1)设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2； (2)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc； (3)a6＋8b6＋c6≥2a2b2c2. 【训练2】 (2010·辽宁)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．考向三　利用基本不等式或柯西不等式求最值 【例3】已知a，b，cR＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值． 【训练3】 已知a＋b＋c＝1，m＝a2＋b2＋c2，求m的最小值不等式选讲(选修4－5)一、填空题 1．设a、b为正数，且a＋b＝1，则＋的最小值是________． 2．已知实数x、y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值是________． 3．函数y＝＋的最大值为________． 4．关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥2a在R上恒成立，则实数a的最大值是______． 5．设ab0，x＝－，y＝－，则x、y的大小关系是 6．不等式|x|＋|x－1|2的解集是________．7．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|，则f(x)的最小值是________，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．8．设,则的最小值为 。 9．对于实数，若，，则的最大值为 .二、解答题 ．如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和． (1)将y表示为x的函数； (2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)证明：－3≤f(x)≤3； (2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集． 12．已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)9a2b2. 13．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、bR)恒成立，求实数x的取值范围． 14．设不等式|2x－1|1的解集为M. (1)求集合M； (2)若a，bM，试比较ab＋1与a＋b的大小． 15．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集