高中数学中的若干最值问题.docVIP

函数最值问题 　　一、 配方法　　主要运用于二次函数或可转化为二次函数的函数解题过程中要注重自变量的取值范围．例1　已知函数y=(ex-a)2+(e- x-a)2(a∈R,a≠0),求函数y的最小值.　　分析:将函数表达式按ex+e-x配方,转化为关于为变量ex+e-x的二次函数　　解：y=(ex-a)2+(e-x-a)2=(ex+e- x)2-2a(ex+e-x)+2a2-2,　　令t=ex+e-x,f(t)=t2-2at+2a2-2，　　∵t≥2,∴f(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2的定义域[2,∞),∵抛物线y=f(t)的对称轴为t=a,　　∴当a≤2且a≠0时,ymin=f(2)=2(a-1)2当a2时,ymin=f(a)=a2-2．　　评注:利用二次函数的性质求最值要注意到自变量的取值范围.和对称轴与区间的相对位置关系.　　二. 不等式法　　运用不等式法求最值必须关注三个条件即”一正二定三相等”．例2 求函数y= (x-1且a0)的最小值. 解:y==ax+ +(1-a)=a(x+1)+ +1-2a≥+1-2a=1当a(x+1)=a/(x+1),即x=0时等号成立,∴ymin=1．　　三. 换元法　　主要有三角换元和代数换元两种.用换元法时,要特别关注中间变量的取值范围．例3　 求函数y=的最大值和最小值.　　解1:先求定义域得0≤x≤1令x=sin2θ θ∈[0,π/2] y=sinθ+cosθ=sin(θ+) ∵≤θ+≤,∴当θ=0或时,ymin=1,当θ=时,ymax=　　解2:令=u∈[0,1],=v∈[0,1],∴u2+v2=1(u≥0,v≥0则y=u+v即v=-u+y由直线方程斜截式纵截距的几何意义知:.ymin=1,ymax=．例4 求函数y=的最大值和最小值.　　解:f(x)== 　　令x=tan，则　　f(x)=f(θ)=cos2θ+sinθ-sin2θ+sinθ+1=-(sinθ-)2+．　　当sinθ=时,f(x)max=当sinθ=-1时,f(x)min =-．　　四. 数形结合法　　主要适用于具有几何意义的函数,通过函数的图象求最值.例5　 已 知x2+y2-2x+4y-20=0求x2+y2的最值. 分析:本题已知条件转化为(x-1)2+(y+2)2=25,可用三角代换转化为三角函数最值问题处理,也可借助几何图形数形结合处理.　　解:　作x2+y2-2x+4y-20=0的图形,它是圆心在P(1,-2)半径为5的圆,依题意有x2+y2=2x-4y+20,设x2+y2=z, 则z=2x-4y+20即y= +,其图形是斜率为且与已知圆相交的一簇平行线,于是求z的最值问题就是求这簇平行线中在y轴的截距最大或最小问题.由平面几何知识知,圆心P(1,-2)到切线2x-4y+20-z=0的距离小于或等于半径,即≤5即|30-z|≤故30-≤z≤30+,故z1=30-为最小值,z2=30+为最大值．即x2+y2最大值为30+，最小值为30-．　　五.函数的单调性法　　先判明函数给定区间上的单调性,而后依据单调性求函数的最值．例6　 已知函数f(x)定义域R,为对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)且x0时f(x)0,f(1)=-2试判断在区间[-3,3] 上f(x)是否有最大值和最小值?如果有试求出最大值和最小值,如果没有请说明理由. 解:　令x1=x2=0,则f(0)=f(0)+f(0) ∴f(0)=0, 令x1=x, x2=-x则f(x)+f(-x)= f(0)=0 ∴f(x)=-f(-x), ∴f(x)为奇函数.　　设x1,x2∈R,且x1x2,则x2-x10, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)0,∴ f(x2)f(x1),∴f(x)在R上为减函数. 又f(1)=-2,∴f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6,又f(x)在[-3,3]上为减函数,故当x=-3时,f(x)max=f(-3)=6,当x=3时,f(x)min=f(3)=-6　　六. 判别式法　　主要适用于可化为关于x的二次方程的函数,当x的范围是R时,仅考虑△即可,当X的范围非R时,还需要结合图形另解不等式.例7　 求函数y=(x2-3x+4)/(x2+3x+4)的最大值和最小值．　　解:　函数的定义域为R这是因为x2+3x+4的判别式△1=32-4×1×4=-7＜0故x2+3x+40对一切x∈R均成立.函数表达式可化为(y-1)x2+(3y+3)x+4y-4=0,当y≠1时∵x∈R,上面的一元二次方程必须有实根,∴△=(3y+3)2-4(y