[工学]高数3第十一章第1、2节.pptVIP

高等数学 A（三） §1. 二重积分的概念与性质 当被积函数 (3) 计算 思考 课 外 作 业 课 外 作 业 说明： 当平行于 y 轴(或 x 轴)的直线与 D 的边界 交点多于两个, 使直线与每个小区域 如: D = DI + DII + DIII . I II III x y 多于两个。 则将 D 分成若干小区域, 的边界曲线的交点不 1 1 y = x2 o y x D y = x x y 交点： D 例2. 改变下列积分次序: 1 1 2 解： y D D1 D2 解： x y 0 y x 2a 2a a D: 解 0 ? x ? 2a, D D2 D1 (1) y x D = ? 注意：积分次序的选择的重要性。 0 计算下列二重积分: 例3. (2) D1 x y -1 1 1 解： 计算下列二重积分: 例4. 解: (2) —— 轮换对称性 = I1 + I2 D 关于 x, y 轴都对称, 解： 且 -1 1 x 对 I1, 对 I2, x y D D1 其中 D 由 所围成. 解: (如图所示) 显然, 令 例5. D 证： (交换积分次序) 积分值与积分变量的符号无关。 x 1 1 t 设 且 求 解: 1 1 若区域 D1、D2 关于直线 y = x 对称, 则 习题 11 — 2 (A) 1(2), 2(1), 3(3) 习题 11 — 2 (B) 1(1, 3), 11 将 变换到极坐标系 0 D 用坐标线:? =常数；r =常数分割区域 D ?i ri ri+?ri ??i ??i ?i +??i ?ri r 二、利用极坐标计算二重积分 极坐标系下的面积元素 将 变换到极坐标系 0 D ?i ri ri+?ri ??i ??i ?i +??i ?ri r 二、利用极坐标计算二重积分 极点不在区域 D 的内部 0 A B F E ? ? ? D D: r r 怎样利用极坐标计算二重积分 极点位于区域 D 的内部 0 ? D r D: r 怎样利用极坐标计算二重积分 4 8 D ?1 y = x 0 y x 0 y x D 4 8 I = ?2 ?1 D x y * 第十一章 重积分 特点：平顶. 特点：曲顶. 1. 引例： 曲顶柱体 一、二重积分的概念 (1) 曲顶柱体的体积 x 0 z y D S 元素法 1 分割：任意分割区域 D, 2 近似 曲顶柱体的体积 ??i x 0 z y D 3 求和： 2 近似： 元素法 曲顶柱体的体积 ??i 1 分割：任意分割区域 D, x 0 z y D 3 求和： 4 取极限： 令分法无限变细 ??i 2 近似： 元素法 曲顶柱体的体积 V = 令 1 分割：任意分割区域 D, x 0 z y D 3 求和： 4 取极限： 令分法无限变细 2 近似： 元素法 曲顶柱体的体积 V = 令 1 分割：任意分割区域 D, x 0 z y 3 求和： 4 取极限： 令分法无限变细 V 2 近似： 元素法 曲顶柱体的体积 V = 令 1 分割：任意分割区域 D, (2) 求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块, 取典型小块, 将其近似 看作均匀薄片, 所有小块质量之和的 极限等于薄片总质量 2. 二重积分的定义 设 f (x, y) 是有界闭区域 D 上的有界函数, (1)任意分割 D 为 n 个小区域: (2)任取一点 (3)作和 (4)记 则称此极限值为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分。 记作 积分和 积分域 被积函数 被积表达式 面积元素 说明: 1. 二重积分值与 D 的分法及点 的取法无关; 平行于 x 轴与 y 轴的直线来划分 D。 ——直角坐标系 在直角坐标系中, 常取 D x y 中的面积元素 二重积分是个数值, 它仅与 f (x, y) 与 D 有关, 而与积分变量的记号无关, 即 3. 若 f (x, y) 在有界闭区域 D 上连续, 则 必存在。 当 f (x, y) 在 D 上的二重积分存在时, 也称 f (x, y) 在 D 上可积。 2. 4. 二重积分的几何意义: 表示 D 上的曲顶柱体体积的代数和。 曲顶柱体体积 平面薄片质量 5. 二、 二重积分的性质 2. 3. 1. k k (k为常数) 即二重积分关于积分区域具有可加性。 4. 5. 若在 D 上, 特殊地, 解: D ∵ 在 D 上, 6. —— 二重积分的估值定理 解： （二重积分的中值定理） 7. 【 定积分中,