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习题六 3．判定下列级数的敛散性： (1) ； (2) ； (3) ； (4)； 解：(1) 从而，故级数发散． (2) 从而，故原级数收敛，其和为． (3)此级数为的等比级数，且|q|1，故级数收敛． (4)∵，而，故级数发散． 5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性． (1)； (2) (3)； (4) ； (5)； (6) ． 解：(1)∵ 而收敛，由比较审敛法知收敛． (2)∵ 而发散，由比较审敛法知，原级数发散． (3)∵ 而收敛，故也收敛． (4)∵ 而收敛，故收敛． (5)当a1时，，而收敛，故也收敛． 当a=1时，，级数发散． 当0a1时，，级数发散． 综上所述，当a1时，原级数收敛，当0a≤1时，原级数发散． (6)由知而发散，由比较审敛法知发散． 6．用比值判别法判别下列级数的敛散性： (1) ； (2)； (3)； (1) 解：(1) ，， 由比值审敛法知，级数收敛． (2) 所以原级数发散． (3) 所以原级数发散． (4) 故原级数收敛． 7．用根值判别法判别下列级数的敛散性： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数． 解：(1)， 故原级数发散． (2) ， 故原级数收敛． (3)， 故原级数收敛． (4) ， 当ba时，1，原级数收敛；当ba时，1，原级数发散；当b=a时，=1，无法判定其敛散性． 8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ (1)； (2)； (3) ； (4)； (5)； (6) ． 解：(1)，级数是交错级数，且满足，，由莱布尼茨判别法级数收敛，又是P1的P级数，所以发散，故原级数条件收敛． (2)，为交错级数，且，，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于 所以，发散，所以原级数条件收敛． (3)民，显然，而是收敛的等比级数，故收敛，所以原级数绝对收敛． (4)因为． 故可得，得， ∴，原级数发散． (5)当α1时，由级数收敛得原级数绝对收敛． 当0α≤1时，交错级数满足条件：；，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时发散，所以原级数条件收敛． 当α≤0时，，所以原级数发散． (6)由于 而发散，由此较审敛法知级数 发散． 记，则 即 又 由 知，由莱布尼茨判别法，原级数收敛，而且是条件收敛． 13．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间： (1)f(x)=ln(2+x)； (2)f(x)=cos2x； (3)f(x)=(1+x)ln(1+x)； (4)； (5)； (6)； (7)f(x)=excosx； (8)． 解：(1) 由于，(-1x≤1) 故，(-2≤x≤2) 因此，(-2≤x≤2) (2) 由，(-∞x+∞) 得 所以 ，(-∞x+∞) (3)f(x)=(1+x)ln(1+x) 由，(-1≤x≤1) 所以 (-1≤x≤1) (4) 由于　(-1≤x≤1) 故 　(-1≤x≤1) (5) (6)由，x∈(-∞,+∞) 得，x∈(-∞,+∞) 所以 (7)因为为的实部， 而 取上式的实部．得　(-∞x+∞) (8)由于　|x|1 而，所以 　(|x|2) 14．将展开成(x+4)的幂级数． 解： 而 又 所以 15．将函数展开成(x-1)的幂级数． 解：因为 所以 (-1x-11) 即 22．计算下列级数的收敛半径及收敛域： (1) ； (2) ； (3) 解：(1) ∴， 又当时，级数变为， 因为 所以当，级数发散，故原级数的收敛半径，收敛域(-,)． (2) 故， 又∵． 所以当(x+1)=±2时，级数发散， 从而原级数的收敛域为-2x+12，即-3x1，即(-3,1) (3) ∴，收敛区间-2x-12，即-1x3． 当x=-1时，级数变为，其绝对收敛，当x=3时，级数变为，收敛． 因此原级数的收敛域为[-1,3]． 23．将函数展开成x的幂级数． 解：由于 所以 （|x|≤1） 习题七 14. 三个力F1=(1,2,3), F2=(-2,3,-4), F3=(3,-4,5)同时作用于一点. 求合力R的大小和方向余弦. 解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4） 15. 求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量来表达向量a, b, c. 解： 20. 已知a, b的夹角，且，计算： (1) a·b; (2) (3a-2b)·(a + 2b). 解：（1）a·b = (2) 21. 已知a =(4,-2, 4), b=(6,-3, 2