[工学]线性代数§43-44.pptVIP

再设 故 也是V的一个子空间。 定义4：设向量 ， 是 的一个子空间，若对于任意 ，都有 ，就称 与子空间 正交，记作： ，设 是 的两个子空间，若对于任意 都有 就称 与 正交，记作： 如： 中 平面上的向量全体和z轴上的全体向量分别是 的二维和一维子空间，它们是两个正交的子空间。 又齐次线性方程组 的解空间 与行空间 正交。 定理5： 中与子空间W正交的向量全体构成的集合 是 的一个子空间。 证明：因为零向量与任何子空间正交，所以S是非空子集，设 于是对任意 ，都有 由内积的齐次性知： 由内积的可加性知： 故： ，所以S是 的子空间。 定义5： 中与子空间W正交的全体向量构成的子空间S称为W的正交补，记作： 如： 四、小结 　　线性空间的元素统称为“向量”, 但它可以是通常的向量, 也可以是矩阵, 多项式, 函数等各种各样的研究对象. 线性空间 是一个集合; 对所定义的加法及数乘运算封闭; 所定义的加法及数乘符合线性运算. 　　线性空间是二维, 三维几何空间及n维向量空间的推广, 它在理论上具有高度的抽象性和概括性. 思考题 实数域R上的n元非齐次线性方程组Ax=b的所有解向量构成的集合B, 对于通常的向量加法和数量乘法, 是否构成R上的一个线性空间? 为什么? 思考题解答 B不能构成R上的一个线性空间. 非齐次线性方程组Ax=b的解向量对向量加法和数乘都不封闭, 因此不构成线性空间. §4.3 线性空间的定义与简单性质 　　线性空间是线性代数最基本的概念之一, 也是一个抽象的概念, 它是向量空间概念的推广. 线性空间是为了解决实际问题而引入的, 它是某一类事物从量的方面的一个抽象, 即把实际问题看作向量空间, 进而通过研究向量空间来解决实际问题. 由前面的讨论我们知道: 是n维向量空间，且中间的元素对在空间上定义的向量加法和数与向量的乘法是封闭，并满足八条运算规律： 设 另外，在微积分中，区间[a, b]上全体实连续函数构成的集合记为C[a, b], 对函数的加法和数与函数的数量乘法是封闭的，即 C[a, b]中的元素并不是有序数组，却有与 中元素间类似的线性运算。而 与C[a, b]之间有无联系？它们在结构上有无相同之处？ 且易验证运算满足八条运算规律。 （4） 一、线性空间的定义 定义1: 设V是一个非空集合, F为一数域. 如果对于任意两个元素?, ? ?V, 总有唯一的一个元素? ?V与之对应, 称? 为?与? 的和(简称加法运算), 记作 ? =? +?. 若对于任一数??F与任一元素??V, 总有唯一的元素? ?V与之对应, 称?为数?与?的积(简称数乘运算), 记作 ? =?? . 为了普遍研究，有必要将这些研究对象不同的集合从本质上统一起来，这样就可以舍弃具体对象，依据运算性质，抽象出本质的共性。为此我们引入线性空间的概念： 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域F上的线性空间(或向量空间),V中元素无论其本来性质如何，统称为向量，特别，若F=R(C)则称V为实(复)向量空间，简称实(复)空间.V 中的运算称为线性运算. (1) 加法交换律: a +b =b +a ; (2) 加法结合律: (a +b ) +g =a +(b +g ) ; (3) 零元素: 存在O?V, 对任一向量a , 有a + O = a ; (4) 负元素: 对任一元素a?V, 存在? ?V, 有a +? =O, 记? = –a ; (5) 1 a = a ; (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对加法的分配律: k(a +