[工学]线性代数§45.pptVIP

例 6 设 1、证明： 与 都是 的基； 2、求 到 的过渡矩阵； 3、 已知 求 在基 下的坐标。 1、证明：已知 所以只证明 和 线性无关即可。 由 而 知， 线性无关。 又 而 知， 线性无关。 2、解：由 所以 所以 故 到 的过渡矩阵为： 3、解： 又 所以有 课堂练习 1.设 (1)证明 和 是R3的两组基， 的过渡矩阵. (2)求由 到 (3)求α关于这两组基的坐标. 2.设 是R3的一组基, (1)证明 和 是R3的两组基， (2)求由 到 的过渡矩阵. (3)求由 到 的坐标变换公式. 思考题解答 令 k1 f1(x)+k2 f2(x)+k2 f3(x)+k4 f4(x) = 0, 因此 则得: (k1+2k2+k3+2k4)x3 + (–2k1 –3k2 –5k4)x2 + (4k1+9k2+6k3+7k4)x + (k1–k2 – 5k3+5k4) = 0. 思考题 求由P[x]4中的元素: f1(x) = x3–2x2+4x+1, f2(x) = 2x3–3x2+9x–1, f3(x) = x3+6x– 5, f4(x) = 2x3–5x2+7x+5 生成的子空间的基与维数. 因此, f1(x), f2(x)线性无关, 且是由 f1(x), f2(x), f3(x), f4(x)所生成的子空间的基, 该子空间的维数为2, 且有 f3(x) = –3 f1(x) + 2 f2(x), f4(x) = 4 f1(x) – f2(x). 设该齐次线性方程组的系数矩阵为A, 则 三、小结 1. 基变换公式 2. 坐标变换公式 或 四、小结 1. 线性空间的基与维数. 2. 线性空间的元素在给定基下的坐标: (1) 把抽象的向量与具体的数组向量联系起来; (2) 把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系起来. 3. 线性空间的同构. §4.5 线性空间的维数、基与坐标 　　已知: 在Fn中, 线性无关的向量组最多由n个向量组成, 而任意n+1个向量都是线性相关的, Fn 中任意n个线性无关向量都构成Fn 的一组基，任何一个n维向量都可由这组基线性表示，其表示系数按序排列的n维有序数组称为向量在这组基下的坐标。现在我们在一般线性空间中讨论类似的问题。 　　问题1: 在线性空间中是否也可以定义线性无关的概念? 问题2: 线性空间的一个重要特征——在线性空间V中, 最多能有多少线性无关的向量? 例1 证明：所有数域F上次数小于n的多项式所生成的线性空间 中的元素 是 的一组基。 证明：从 中基的定义出发只需证明 线性无关，且每个 都可用 线性表示即可。 首先任一 都是 的线性组合。 其次，对一组数 ，令 等式右边是一零次多项式，因此左边必是零次多项式，故 ，故 线性无关，故 为 的一组基。 一、线性空间的基与维数 定义: 设V为线性空间, 对?1, ?2, ···, ?m ?V, 如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km?F, 使 k1?1 + k2?2 + ··· + km?m = 0 则称?1, ?2, ···, ?m是线性相关的, 否则称它是线性无关. 由例1， 中基的定义，线性相关定义对线性空间V来说仍然成