[工学]第五章代数结构.ppt

【例】 设G={e, a, b, c}是klein四元群，H＝{e,a}是G的子群，那么H的所有左陪集和右陪集是： 作业 P221 1,2 例：令2Z＝{2 × z|z∈I}，判断2Z关于普通的加法和乘法是否构成： 交换环 无零因子环 含幺环 整环 例: 考察 X, ?, ? ,判断它是否为域。 其中 X={a+b?2 | a,b?Q}，?和?定义如下： (a1+b1?2 )?(a2+b2?2 ) = (a1+a2)+(b1+b2)?2 (a1+b1?2)?(a2+b2?2)=(a1a2+2b1b2)+(a1b2+b1a2)?2 可以证明 X, ?, ? 是域. 定理5.9.4 域一定是整环。 定理5.9.5 有限整环一定是域。 例：设?I,＋,??是整数环，其中，I是整数集，＋和?是整数集上的普通加法和乘法。设?N2,＋2,×2?是模2整数环，其中，N2=?0,1?，＋2是模2加法，×2是模2乘法。设f：I→N2，定义为 例题 在整数集 I上定义运算*：?a,b∈I，a*b=a+b-2。 问：〈I,*〉是什么代数系统？（半群、独异点、群、环、域） 作业 P228 3,7)ACE 因为质数x除了1和本身x以外，没有其它的因子；所以除了两个平凡子群以外，不会存在非平凡子群。 元素的阶必是群的阶的因子，且必有an=e。 循环群一定是阿贝尔群。 群中，质数阶的群，一定是循环群。 * a-1≠e * G一定是{e,a1,a1-1,a2,a2-1,…,an,an-1}，即每个元素都有自己唯一对应的逆元，不可能有两个元素的逆元相同。 因为，若a1的逆元为a3，a2的逆元也为a3，由于逆元是互为逆元的，所以a3就有两个逆元a1和a2，这与“逆元存在则唯一”矛盾。 * （1）该例告诉我们，在I,?中研究运算结果的正、负、零的特征就等于在B,⊙中的运算特征，可以说，代数系统B,⊙描述了I,?中运算结果的基本特征。这正是研究两个代数系统之间是否存在同态的重要意义。 （2）由一个代数系统到另一个代数系统可能存在多于一个的同态。 * 显然，满同态满足f(A)=B；单一同态满足f(A)?B；同构满足f(A)=B且|A|=|B|。 例1说明，当两个代数系统同构，它们之间的同构映射可以是不唯一的，即可能存在多个映射使得同构成立。 * 红框里的例子，容易验证： 若f为从A到B的双射，设f(a)=偶，f(b)=奇， 当a=b时，f(a★b)=f(a)=偶，f(a)⊙f(b)=偶=f(a)，所以f(a★b)=f(a)⊙f(b) 当a≠b时，f(a★b)=f(b)=奇，f(a)⊙f(b)=奇=f(b)，所以f(a★b)=f(a)⊙f(b) 即则对任意元素a,b∈A，都有：f(a★b)=f(a)⊙f(b)，即代数系统B,⊙与A,★同态；又因为f为双射，所以代数系统B,⊙与A,★同构。 同理，若g为从A,★到C,⊕的双射，设g(a)=0度，g(b)=180度，则易证A,★和C,⊕也为同构的代数系统。 * 形式上不同的代数系统，如果它们同构，就可以抽象地把它们看作是本质上相同的代数系统，不同的只是所用的符号不同。 * f(A),*中幺元即为f(e)，其中e为A中幺元，即幺元e的像为同态像中的幺元。 f(A),*中每个元素a的逆元即为a的原像x（f(x)=a）的逆元x-1的像f(x-1)，即f(x)-1=f(x-1) 证明易，请同学们参照课本自己证明。 * 未知群是否为有限群的情况下，应该用子群判定定理一： （1）e∈Ker(f)； （2）运算*在Ker(f)上封闭； （3）Ker(f)中每个元素都有逆元。 我们已经知道，只需要证（2）（3）成立即可。 * R为A上等价关系，R={a,a,b,b,c,c,d,d,a,b,b,a,c,d,d,c}，很明显两个等价类为{a,b}和{c,d}。 容易验证，当a1,a2，b1,b2∈R时，必有(a1★b1,a2★b2)∈R， 如a,a,b,b∈R，则a★b,a★b=a,a∈R，a,b,c,d∈R，则a★c,b★d=d,d∈R 所以该例中的等价关系R同时也为A上关于★的同余关系。 * 容易验证，当a1≠b1,a2≠b2时，若a1,a2，b1,b2∈R，未必有(a1★b1,a2★b2)∈R， 如a,b,c,d∈R，而a★c,b★d=d,a?R； 如b,a,d,c∈R，则b★d,a★c=a,d?R； 所以该例中的等价关系R不是A上的同余关系，即A上的等价关系不一定是A上的同余关系（所以A上同余关系一定也会诱导出一个A上的划分），但A上的同余关系一定是A上的等价关系。 * 即：一定会存在某种运算*，使得{A1,A2,…,Ar},